악동의 물리로그

이제 평면을 따라 굴러가는 운동에 대한 이야기를 해볼건데, 방바닥에 동전을 굴린 것 같은 형태의 운동이고, 이 운동은 아래 그림처럼 다소 복잡한 운동이다. 우리는 위 그림의 녹색과 빨간색선이 무엇을 의미하는지 대충 알고 있는데, 녹색은 회전 운동의 축의 이동 경로를 표현한 선 이고, 빨간색은 물체(동전)의 테두리의 특정 위치가 어떤 경로를 따라 움직이는지 나타낸 선 이다. 빨간선과 같은 경로를 사이클로이드(cycloid) 라고 부르는데, 우린 굴러가는 운동을 이제 알아보기 시작했으니까 질량 중심의 운동, 즉 녹색선에 대한 이야기를 먼저 하기로 하자. 여기서 잠시, 우리는 언젠가부터 운동하는 물체가 강체 (rigid body) 임을 가정해왔는데, 왜 굳이 강체여야 하는지에 대해서 짧게 얘기하자면, 모든 물..

앞에서 우리는 회전하는 물체의 운동에너지에 대한 이야기를 했는데, 병진운동에서 그랬듯 회전운동도 에너지의 관점으로 접근하고 이해하는게 유익하지 않을까 하는 생각을 해볼 수 있다. 역시 병진운동을 다룰때와 동일하게 물체에 작용하는 토크와 그 결과로 발생하는 회전운동 사이의 관계를 일률(power) 과 일-에너지 정리의 관점으로 다시한번 들여다보자는 이야기. 위 그림과 같이 물체의 한 점 P 에 힘 F 가 작용해서 점 O 를 중심으로 물체가 회전하는 상황에 대해 생각해보자. 물체는 당연히 회전을 할 테니까 P 가 움직이는 경로는 원 일 테지만, 그 경로의 아주 짧은구간 (무한소, infinitesimal) ds 는 직선으로 간주 할 수 있을거다. 그러면 물체를 ds 만큼 회전시키기 위해 힘이 한 일은 작용한..

물체의 위치가 변하는 병진운동에 대한 이야기를 전개하면서 우리는 운동 자체를 정의하고, 운동의 변화와 변화의 원인을 얘기하면서 힘을 도입했고, 힘의 작용과 가속도의 관계를 이야기하면서 뉴턴법칙에 대한 이야기를 했고, 그 후에 에너지를 도입해서 기술하는 과정을 거쳤는데, 이와 같은 과정으로 회전운동을 다루는 중 이다. 그래서 이번엔 회전 운동의 에너지에 대한 이야기를 할 차례. 회전운동은 기본적으로 회전축에 대한 운동이기 때문에 병진운동에서와 같은 “물체의 공간적 이동” 자체가 발생하지 않는다. 하지만, 물체를 이루는 각 부분은 정해진 궤도를 따라 “움직이긴” 하니까 이와 관련된 운동에너지가 있을것이라는 생각은 해 볼 수 있다. 그래서 이번에도 아래 그림과 같은 상황을 설정하고 시작할건데, 이제 그림을 보..

우리는 앞에서 부피를 갖는 물체의 관성모멘트를 물체가 무수히 많은 아주 작은 입자로 구성되었고, 그 입자들 각각이 갖는 관성모멘트의 합으로 구할 수 있음을 봤다. 여기서는 이 과정을 좀 더 수학적으로, 그리고 문제풀이와 같은 실제 상황에 적합한 형태의 수식으로 어떻게 표현되는지 알아볼건데, 어려운 내용은 하나도 없겠지만, 당장 문제를 풀어야 하는 사람이 아니면 이번 내용은 꼭 보지 않아도 다음 섹션으로 넘어가는데 큰 무리는 없다. 본론으로 돌아가서, 부피를 갖는 물체를 아주 작은 질량을 갖는 무수히 많은 덩어리들의 집합으로 간주하고, 그 중 i 번째 덩어리가 Δmi 의 질량을 갖는다면, 우리는 위의 식을 다음으로 바꿔 쓸 수 있다. i 번째 덩어리는 회전 중심으로부터 ri 만큼 떨어져 있고, 질량은 Δm..

우리는 앞서 뉴턴법칙에 대한 이야기를 하면서 물체에 힘이 작용하면 가속도가 발생하고, 이 가속도는 물체에 작용한 힘의 크기에 비례한다는 사실을 알게됐다. 힘이 물체의 회전을 야기하는 경향의 정도가 토크이고, 물체에 토크가 작용하면 회전운동이 일어난다는 것 까지는 알았으니까 이 사실로 실제 현상을 어떻게 해석하는지 알아 볼 차례다. 대충, “그럼 큰 토크가 작용하면 각가속도가 커지겠구나” 라는 생각을 할 수 있는데, 이 사실을 수식으로 확인하는 과정이 이번글의 주제다. 아래 그림과 같이 다루기 쉬운 아주 단순한 상황의 해석으로 이야기를 시작해보자. 질량 m 을 가진 입자가 반경 r 의 원형궤도를 따라 회전하고 있는데, 이 입자에는 접선방향 (tangential) 의 힘 Ft 와 동경방향 (radial) 의..

앞서 병진운동을 다루면서, 운동(motion) 을 변화시키는 원인을 알아봤고, 그걸 힘(force) 이라 부르기로 했었다. 그럼, 회전운동의 변화를 야기하는건 무엇일까? 이게 토크다. 여닫이문을 여는 경우를 상상해보자. 물론, 교재에는 경첩 근처 특정 부위의 문짝 표면에 수직한 방향으로 F 만큼의 힘을 가하고 어쩌고.. 복잡한 얘기들이 있지만, 우리는 문을 여는 상황만 생각하자. 대신 문 손잡이를 잡고 여는 경우와 경첩 근처 (회전 중심 근처) 를 밀어서 여는 두 가지만 나눠서 생각하자. 당연히 문 손잡이를 잡고 미는 경우가 힘이 덜 든다. 우리는 상상에서, ‘힘’을 가해서 문의 ‘회전운동’을 발생 시켰는데, 이와 같이 임의의 축에 대해 물체의 회전을 발생시키는 힘의 경향을 측정한 양을 우리는 토크(to..

교재의 영문 제목은 저렇게 되어 있는데, 한글로 옮기기에 적절한 단어들이 생각나지 않아서 대충옮겼다. 토크에 대한 이야기로 넘어가기 전에 간단하게 각속도, 각가속도가 병진운동의 속도, 가속도와 어떤 관계가 있는지 알아보자. 위 그림의 점 P 가 원운동을 할 테니까, 점 P 의 병진운동 속도벡터 (v) 는 항상 원형 경로의 수직 방향을 갖게 되므로, 우리는 P 의 병진운동 속도벡터를 접선속도 (tangential velocity) 라 부른다. 사실, 접선속도 라는 말 보다는 역시 tangential velocity 라는 영어 단어가 좀 더 익숙하고, 보통 회전운동의 선속도는 접선이다. 정도만 잘 이해해도 준수하다. 너무 당연한 얘기지만, 회전운동의 경우 물체를 구성하는 모든 입자가 회전 축을 중심으로 다 ..

이제 회전운동과 병진운동을 기술하는 방식이 얼마나 비슷한지 비교해보자. 식 몇 개와 표 하나만 보면 되기 때문에 아주 짧은 내용이 될텐데, 병진운동에서 일정한 가속도를 갖는 운동을 다뤘던것과 아주아주 비슷한 내용이니까, 혹시 회전운동이 아직 익숙치 않다면 앞의 일정한 가속도를 갖는 운동의 내용을 같이 보면서 어떤 유사점이 있는지 찾아보는것도 큰 도움이 되리라 생각한다. 이전 섹션에서 정의한 순간 각가속도에 대한 아래 식 에서 출발하자. 이제 이 식을 t=0 부터 임의의 시간 t 까지 적분하면, 다음을 얻는다. 이 관계를 순간각속도에 대한 아래 관계에 대입하고 다시한번 적분하면, 이제 위의 관계들에서 t 를 소거하는 작업을 약간 해보면 마지막으로 아래 두 관계를 얻을 수 있다. 병진운동을 기술 할 때, 위..

[041-10] 역학 : 고정된 축에 대한 강체의 회전 - Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis 바퀴의 회전과 같은 운동은 특정 시간에 선속도와 가속도가 물체의 위치에 따라 다른 값을 가지기 때문에 물체를 단일입자로 간주하여 취급하는게 불가능하다. 회전하는 물체는 그 물체를 아주 단단한 물체 (rigid) 라고 가정하면 취급이 훨씬 용이해진다. 강체 (rigid object) 는 변형이 발생하지 않는 물체를 의미하는데, 이는 어떤 상황에서도 물체를 이루는 모든 입자의 상대적인 위치가 변하지 않는 물체를 말한다. 이번 챕터에서는 강체의 개념을 기반으로 하면 어떤 현상의 분석이 가능한지 알아보자. [041-10-01] 각위치, 각속도, 각가속도 앞에서 다룬 병진운..

본 블로그는 "일반물리" 와 "물리말고 다른얘기" 라는 두 카테고리로 되어있고, 일반물리는 모든 글에 적혀있는것과 같이 대학교 일반물리 교재를 바탕으로 제가 공부하면서 정리하는 내용들이고, 물리말고 다른얘기는 모두 제가 직접 작성한 글들 입니다. 블로그 내용을 인용해서 본인들의 작업에 사용하시겠다는 분들이 댓글을 주시는데요, 과제 결과물, 게시된 사이트 와 같이 제 블로그의 내용을 인용해 만들어진 산출물을 제가 직접 확인 가능한 경우에만 인용을 인정해드리겠습니다. 제가 직접 인용하시라는 안내를 드리기 전에 사용한 경우에는 확인 즉시 법적인 책임을 물을 것 입니다. 무단복제는 불법입니다.