악동의 물리로그

역시 그림으로 시작. z 축을 중심으로 회전하는 물체의 각운동량에 대해 알아보자. 축은 원형인 물체의 중심을 지나고, 물체의 중심은 물체의 질량중심과 같다. 사실 실제로 문제를 풀때는 축이 어디 있는지, 형태가 어떤지 같은 그림으로 보면 편하지만 그냥 지나치기 쉬운 사실들이 아주 중요한 경우들이 많으니까, 내가 어떤 상황에 대한 내용을 알고 있는지, 그게 이 상황에 어떻게 적용되는지를 확인하는 과정이 매우 중요하다. 상황이 어떻게 세팅 되어 있는지 정확히 아는데 시간을 충분히 쓰라는 얘기다. 물체를 이루는 각각의 입자는 xy 평면에서 z 축 주변을 각속도 (w) 를 갖고 회전한다. mi 의 아주 작은 질량 덩어리의 각운동량은 mi vi ri (I 는 모두 아래첨자) 이고, vi = ri w 이니까 i번째..

그림으로 시작. 얼음판 위에 아주 단단히 고정되어 있는 기둥을 향해서 달려오던 스케이트 선수가 기둥을 지나치는 순간 팔을 뻗어서 기둥을 붙들면 스케이트 선수는 기둥 근처를 회전하는 운동을 하게 된다. 선형 운동량의 개념이 병진운동을 이해하고 분석하는데 유용했듯 이제 알아볼 각운동량은 위 스케이터와 같은 물체의 회전 운동을 이해하는데 도움이 된다. 선형 운동량을 다룰 때와 유사한 과정으로 각운동량에 대한 이야기를 시작해보자. 위 그림과 같이 질량 m 인 물체가 원점으로부터 r 의 위치 (vector position) 에서 p 의 선형 운동량을 갖고 움직인다고 하자. 병진운동을 다루는 중 이라면 이 물체에 가해지는 힘은 선형운동량 p 의 순간변화율을 통해 다음의 식 으로 구할 수 있다. 그런데, 물체에 가해..

이번에는 각운동량에 대한 이야기를 할 차례인데, 선형 운동량이 여러모로 중요한 입자를 가졌던것과 같이 각운동량도 그와 동등한 수준의 입지를 갖는 개념이다. 선형 운동량이 보존됐던 것 처럼 각운동량도 고립계의 경우 보존되며, 두 보존법칙은 상대론과 양자역학에도 적용 가능할만큼 폭넓게 응용된다. 피겨 선수들이 제자리에서 회전 할 때, 팔이나 다리를 오므려서 회전 반경을 줄일수록 더 빠르게 돌게되는 이유를 알 수 있는 부분이기도 하다. 11.1 벡터 곱 (외적) 과 토크 The Vector Product and Torque 회전운동에 대한 이야기에서 우리는 아래의 그림을 봤었고, 여기서 토크의 크기를 다음과 같이 정의했다. 그런데, r 과 F 가 모두 벡터이고, 두 벡터의 크기와 그 사잇각의 사인의 곱은 벡터..

앞에서 우리는 회전하는 물체의 운동에너지에 대한 이야기를 했는데, 병진운동에서 그랬듯 회전운동도 에너지의 관점으로 접근하고 이해하는게 유익하지 않을까 하는 생각을 해볼 수 있다. 역시 병진운동을 다룰때와 동일하게 물체에 작용하는 토크와 그 결과로 발생하는 회전운동 사이의 관계를 일률(power) 과 일-에너지 정리의 관점으로 다시한번 들여다보자는 이야기. 위 그림과 같이 물체의 한 점 P 에 힘 F 가 작용해서 점 O 를 중심으로 물체가 회전하는 상황에 대해 생각해보자. 물체는 당연히 회전을 할 테니까 P 가 움직이는 경로는 원 일 테지만, 그 경로의 아주 짧은구간 (무한소, infinitesimal) ds 는 직선으로 간주 할 수 있을거다. 그러면 물체를 ds 만큼 회전시키기 위해 힘이 한 일은 작용한..

우리는 앞에서 부피를 갖는 물체의 관성모멘트를 물체가 무수히 많은 아주 작은 입자로 구성되었고, 그 입자들 각각이 갖는 관성모멘트의 합으로 구할 수 있음을 봤다. 여기서는 이 과정을 좀 더 수학적으로, 그리고 문제풀이와 같은 실제 상황에 적합한 형태의 수식으로 어떻게 표현되는지 알아볼건데, 어려운 내용은 하나도 없겠지만, 당장 문제를 풀어야 하는 사람이 아니면 이번 내용은 꼭 보지 않아도 다음 섹션으로 넘어가는데 큰 무리는 없다. 본론으로 돌아가서, 부피를 갖는 물체를 아주 작은 질량을 갖는 무수히 많은 덩어리들의 집합으로 간주하고, 그 중 i 번째 덩어리가 Δmi 의 질량을 갖는다면, 우리는 위의 식을 다음으로 바꿔 쓸 수 있다. i 번째 덩어리는 회전 중심으로부터 ri 만큼 떨어져 있고, 질량은 Δm..

우리는 앞서 뉴턴법칙에 대한 이야기를 하면서 물체에 힘이 작용하면 가속도가 발생하고, 이 가속도는 물체에 작용한 힘의 크기에 비례한다는 사실을 알게됐다. 힘이 물체의 회전을 야기하는 경향의 정도가 토크이고, 물체에 토크가 작용하면 회전운동이 일어난다는 것 까지는 알았으니까 이 사실로 실제 현상을 어떻게 해석하는지 알아 볼 차례다. 대충, “그럼 큰 토크가 작용하면 각가속도가 커지겠구나” 라는 생각을 할 수 있는데, 이 사실을 수식으로 확인하는 과정이 이번글의 주제다. 아래 그림과 같이 다루기 쉬운 아주 단순한 상황의 해석으로 이야기를 시작해보자. 질량 m 을 가진 입자가 반경 r 의 원형궤도를 따라 회전하고 있는데, 이 입자에는 접선방향 (tangential) 의 힘 Ft 와 동경방향 (radial) 의..

앞서 병진운동을 다루면서, 운동(motion) 을 변화시키는 원인을 알아봤고, 그걸 힘(force) 이라 부르기로 했었다. 그럼, 회전운동의 변화를 야기하는건 무엇일까? 이게 토크다. 여닫이문을 여는 경우를 상상해보자. 물론, 교재에는 경첩 근처 특정 부위의 문짝 표면에 수직한 방향으로 F 만큼의 힘을 가하고 어쩌고.. 복잡한 얘기들이 있지만, 우리는 문을 여는 상황만 생각하자. 대신 문 손잡이를 잡고 여는 경우와 경첩 근처 (회전 중심 근처) 를 밀어서 여는 두 가지만 나눠서 생각하자. 당연히 문 손잡이를 잡고 미는 경우가 힘이 덜 든다. 우리는 상상에서, ‘힘’을 가해서 문의 ‘회전운동’을 발생 시켰는데, 이와 같이 임의의 축에 대해 물체의 회전을 발생시키는 힘의 경향을 측정한 양을 우리는 토크(to..

이제 회전운동과 병진운동을 기술하는 방식이 얼마나 비슷한지 비교해보자. 식 몇 개와 표 하나만 보면 되기 때문에 아주 짧은 내용이 될텐데, 병진운동에서 일정한 가속도를 갖는 운동을 다뤘던것과 아주아주 비슷한 내용이니까, 혹시 회전운동이 아직 익숙치 않다면 앞의 일정한 가속도를 갖는 운동의 내용을 같이 보면서 어떤 유사점이 있는지 찾아보는것도 큰 도움이 되리라 생각한다. 이전 섹션에서 정의한 순간 각가속도에 대한 아래 식 에서 출발하자. 이제 이 식을 t=0 부터 임의의 시간 t 까지 적분하면, 다음을 얻는다. 이 관계를 순간각속도에 대한 아래 관계에 대입하고 다시한번 적분하면, 이제 위의 관계들에서 t 를 소거하는 작업을 약간 해보면 마지막으로 아래 두 관계를 얻을 수 있다. 병진운동을 기술 할 때, 위..