[046-10-06] 역학 : 관성모멘트의 계산 - Calculation of Moments of Inertia

우리는 앞에서 부피를 갖는 물체의 관성모멘트를 물체가 무수히 많은 아주 작은 입자로 구성되었고, 그 입자들 각각이 갖는 관성모멘트의 합으로 구할 수 있음을 봤다.

여기서는 이 과정을 좀 더 수학적으로, 그리고 문제풀이와 같은 실제 상황에 적합한 형태의 수식으로 어떻게 표현되는지 알아볼건데,

어려운 내용은 하나도 없겠지만, 당장 문제를 풀어야 하는 사람이 아니면 이번 내용은 꼭 보지 않아도 다음 섹션으로 넘어가는데 큰 무리는 없다.

 

본론으로 돌아가서, 부피를 갖는 물체를 아주 작은 질량을 갖는 무수히 많은 덩어리들의 집합으로 간주하고, 그 중 i 번째 덩어리가 Δmi 의 질량을 갖는다면, 우리는 위의 식을 다음으로 바꿔 쓸 수 있다.

i 번째 덩어리는 회전 중심으로부터 ri 만큼 떨어져 있고, 질량은 Δmi 이다.

 

여기에 Δmi ->0 으로 가는 극한을 취하면, 즉 아주아주아주 작은 덩어리들 이라는 상상력을 보태면 관성모멘트는 다음이 된다.

 

극한과 시그마의 결합이 인테그랄이 되는 과정은 아래 글을 참고 하자.

https://physicslog.tistory.com/entry/005-03-%EC%A0%81%EB%B6%84?category=894636

 

 

일반적으로 관성모멘트는 질량을 기반으로 구하는 것 보다 부피를 기반으로 구하는 편이 쉬운데,

의 관계를 이용하면 위 식을 다음으로 쓸 수 있다.

 

부피를 이용하는게 쉬운 이유는

우리는 원기둥 이나 구의 부피를 구하는 식은 정확히 알고 있지만, 질량은 부피가 동일해도 이루고 있는 물질의 밀도에 따라 질량이 달라지기 때문이다.

 

이게 무슨말인가 싶을텐데, 바꿔 말하면, 부피는 형태만 알면 정확히 구할 수 있지만, 질량은 못구하니까 실전에서는 부피에 관한 식을 쓴다는 얘기다.

  

…됐고 아주 오랜만에 예제를 하나 보자.

교재의 예제 10.8 이고, 아래와 같은 원기둥 형태 물체의 관성모멘트를 구하는게 문제다.

여기에 다음의 식을 적용하려고 보니,

회전중심 (z축) 으로부터 r 만큼 떨어진 위치에 있는 아주 작은 부분의 질량 (dm) 을 도대체 알 수가 없다는 것.

그런데 우리는 그 부분의 부피는 구할 수 있으니까, dm 을 부피와 밀도로 바꿔 쓰면,

 

이제 이 관계를 위의 식에 고대로 대입하면,

 

그런데, 원기둥의 밀도-질량-부피 사이에는 다음의 관계가 있으니까

 

원기둥의 관성모멘트는 아래와 같이 구해진다.

 

물체가 같은 물질이 아주 균일하게 분포되어 있다는 가정은 굳이 말하지 않았다.

문제 풀이는 여기까지.

 

 

교재의 뒷부분에는 회전축이 질량중심을 통과하지 않는 경우에 대한 이야기가 좀 더 진행되는데, 사실 거기까지는 직접 사용하는 경우가 많지 않으니까 여기서는 지나가자.

관심있으신 분들은 찾아보시고, 궁금한게 있으시면 댓글.

 

 

다음은 회전운동의 운동에너지를 알아보자.

 

 

 

[참고문헌]

주 교재 : Physics for Scientists and Engineers, 9th Edition, Serway/Jewett