악동의 물리로그

정수, 유리수, 무리수, 실수 에 대한 얘기를 이전 글에서 한번 했었는데, https://physicslog.tistory.com/entry/005-%EB%AF%B8%EB%B6%84-%EC%A0%81%EB%B6%84-%EA%B7%B8%EB%A6%AC%EA%B3%A0-%EC%83%81%EC%83%81%EB%A0%A5?category=894636 [005-01] 정수. 유리수. 무리수. 실수. [005-01-00] 운동량에 대한 내용을 정리하다 보니 여태까지 왠지 미루고 있었던, 수학얘기를 한번 해야겠다는 생각이 들었다. 이번 글은 참고자료 없이 그간 공부하면서 내가 접근하고 이해했던 방 physicslog.tistory.com 여기에 허수 그룹이 추가되는 복소수 에 대한 얘기를 한번 해볼까 한다. 복소수 ..

[023] 무한포텐셜 우물에 갇힌 경우를 알아봤으니까, 이제 포텐셜의 크기가 제한되어 있는 경우를 알아보자. 이 문제도 무한포텐셜 우물과 같이 구속조건이 주어진 상황의 슈뢰딩거 방정식을 풀어 적절한 파동함수를 얻는게 목표이다. [023-01] 유한 포텐셜 우물 고려하고 있는 상황은 위 그림과 같다. 계의 전체 에너지 E 가 포텐셜 U 보다 작은 경우이고, 고전적 개념에 따르면 입자는 이 상황에서 우물의 외부에서 발견 될 수 없다. 그런데.. 양자역학의 해석에 따르면 이 상황에서 입자가 우물의 외부에서 발견 될 확률이 어느정도 존재한다. 즉, 우물의 외부에서 파동함수가 0 이 아닌 값을 갖고, 따라서 확률밀도 - 파동함수의 절댓값의 제곱 - 또한 0 이 아닌 값을 갖는다는 말이다. 낮은 에너지를 가진 입자..

[021] 공간의 어딘가에 존재하는 입자의 파동함수와 입자를 발견 할 가능성이 높은 평균 위치인 기댓값을 알아봤다. 이제 입자가 특정 구간에 존재하는 경우에 대해 알아볼텐데, 일반적으로 경계조건 아래의 입자 (Quantum Particle Under Boundary Conditions) 또는 상자 속 입자 (Particle in a box) 라 부르는 상황이다. 상자라는 단어를 사용하지만, 입자의 운동은 1차원으로 제한하여 문제를 단순화해서 접근할거고, 양자역학이 조건이나 상황을 분석하고 문제를 해결하는 과정이 고전역학의 방식과 어떻게 다른지 비교적 쉽게 알 수 있는 문제이다. [021-01] 고전적 입장 우리가 알아보고자 하는 상황을 고전적 입자 개념으로 그려본 그림이다. 하나의 입자가 투과가 불가능한..

[020-01] 이제 위 두 표현이 어떤 관계가 있는지 알아보자. 이 과정은 복소수, 복소평면, 지수함수, 삼각함수 에 관한 내용들을 포함하고, 맥클로린 급수도 알면 이해가 편한데, 이걸 지금 다 하기 보다는 일단 뭐가 어떻게 되는지 부터 한번 보자. [020-01-01] 복소평면 고등학교에서 수 체계의 마지막 단계로 복소수를 배우는데, 어떤거냐면 z=x+yi 의 형태로 수를 표현한다는거다. i 는 제곱해서 -1 이 되는, 허수단위 라 부르는 친구인데, 별로 친한 사람은 없다. 그리고, z 의 구성을 보면 둘의 합으로 표현되는데, 앞은 실수부, 뒤는 허수부 라고 부른다. 실수와 허수는 더하거나 빼거나 하는게 되질 않아서 별 수 없이 두 부분으로 나누어 쓴 것이다. 이제 z 를 좌표평면에 나타내보자. 원래..

[020] 파동함수를 알면 우리가 원하는 뭔가를 알 수 있다고 했는데, 정작 파동을 함수로 쓰는 것은 아직 다루지 않았고, 양자역학 내용을 좀 더 진행하려면 왜 파동이 삼각함수로 써 지는지를 한번은 정리를 해야겠다. 수학이 많이 나올 예정이다. 앞에서 파동함수를 아래 형태로 쓸 수 있다고 했었는데, 왜 이런 형태가 되는지 알아보자. [020-01] 파동함수 사인파의 일반형은 코사인 (cos) 을 이용해 쓰지만, 사인 (sin) 과 코사인은 위상차이만 있는 함수들이고, 우리는 앞으로 사인을 이용해 문제를 풀 예정이라 사인을 이용하기로 한다. 파동함수는 양자역학에서 갑자기 나온 말이 아니고, 원래 파동을 함수의 형태로 쓴 것을 파동함수라고 부른다. 파동-입자 이중성을 가지니까 기존에 파동을 함수의 형태로 쓰..

[018] 이제 양자역학이 어떻게 현상을 설명하는지에 대한 이야기를 시작해보자. 우리가 알고있는 역학에서 물체의 속도와 가속도는 물체의 시간에 따른 위치를 알면 구할 수 있었다. 위치의 함수를 한번 미분하면 물체의 속도를 얻고, 한번 더 미분하면 가속도를 얻는 방식으로. 또, 이렇게 얻어진 가속도를 뉴턴의 두번째 운동법칙에 넣으면 물체에 작용한 모든 외력의 합을 구할수도 있었다. 물체의 시간에 따른 위치는 물체의 운동과 관련된 정보를 "가지고있고", 물체의 위치를 적절한 방법으로 가공하면 우리가 필요로 하는 - 물체의 운동을 기술하는데 필요한 - 다른 정보를 얻을 수 있다는 말인데, 양자역학에서 시간에 따른 위치의 역할을 하는게 파동함수이다. 파동함수는 우리가 관심을 갖는 계(system)에 관한 정보를..