[006] 3차 방정식. 허수. 복소수.

 

정수, 유리수, 무리수, 실수 에 대한 얘기를 이전 글에서 한번 했었는데,

https://physicslog.tistory.com/entry/005-%EB%AF%B8%EB%B6%84-%EC%A0%81%EB%B6%84-%EA%B7%B8%EB%A6%AC%EA%B3%A0-%EC%83%81%EC%83%81%EB%A0%A5?category=894636

[005-01] 정수. 유리수. 무리수. 실수.

 

 

여기에 허수 그룹이 추가되는 복소수 에 대한 얘기를 한번 해볼까 한다.

복소수 까지를 다루게 되면 인류가 사용하는 수에 대한 모든 카테고리를 다룬 것이 된다. 실제로 존재하는 실수와 그렇지 않은 허수를 모두 알게 된 거니까.

 

물론 이번 이야기도 별다른 교재가 있는건 아니고, 그동안 공부하고 배우면서 내가 이해한 방식을 쓸 생각이다.

 

 

 

[071-001] 허수를 알아보자 1.

실수에 대한 이전 글에서 “제곱해서 어떤 수가 되는 수” 를 기호 루트를 이용해 쓰기로 약속했다는 얘길 했었다.

 

 

“루트 2” 를 두 번 곱하면 2 가 된다.

 

 

그리고, 허수를 배우기 전의 우리는 “루트 안에는 반드시 양수만 들어가야 된다.” 는 뭔가 좀 불편한 울타리 안에서만 작업을 할 수 있었다.

복잡하고 어렵게 생각하지 않는다면 허수를 받아들이는건 간단한 일 이다.

“루트 안에 음수가 있으면 안되나? 음수도 실수잖아?”

 

아주 단순하다. 이제 “루트 -2” 를 두 번 곱하면 -2 가 된다.

 

생각해보면 학교에서 공부하는 동안 루트 안에 음수가 들어가면 안되는 이유는 아무도 알려준 적이 없는데,

왜냐면,

원래 들어가도 되거든.

 

 

이제 “루트 -2” 에 양수만 들어가기로 했을 때 정한 루트의 규칙을 하나 적용하면,

 

이렇게 해놓고 보니까 루트 2 는 “실수” 여서 수직선에 표현이 되는데, 루트 -1 은 실수들로 완성된 수직선의 어디에도 표현 할 방법이 없다는 것.

 

그리고,

만약 위와 같이 루트 -1 을 기준으로 삼으면, 음수를 포함하는 모든 실수에 루트를 씌우는 작업이 가능해진다는 것.

 

그래서,

“루트 -1” = i 로 하고, 이를 허수단위 로 부르자 는 약속이 생겼다.

 

중요한건,

 

실제로 존재하지 않는 수 라는 의미의 허수 인데, 두 번 곱하니까 실수가 된다는 것이다.

 

 

 

[071-002] 복소수를 알아보자.

 

“복소수 = 모든 수” 이고, 복소수 까지를 알면 이제 인류가 사용하는 모든 숫자를 다룰 줄 알게 되는 것이다.

모든 숫자는 복소수이다.

 

복소수는 a+bi 의 형태로 쓰며, a 와 b 는 실수 이다.

b=0 이어서, 허수부분을 갖지 않게 되면 실수의 영역에 들어가고,

b 가 0 이 아닌 모든 수는 허수의 영역에 포함된다.

 

물론, a=0 이어서 허수부분만 갖는 경우를 순허수로 따로 나누기도 하지만, 사실 크게 의미있는건 아니고.

 

모든 수는 복소수라는 것. 을 알면 된다.

 

 

 

[071-003] 허수를 알아보자 2.

이번에는 약간 “있어보이는” 방법으로 허수를 생각해보자.

 

우리는 모두 3차 방정식 정도는 알고 있으니까,

 

뭐 이정도 인수분해는 눈으로도 되잖아?

 

됐고.

 

x = -3이 하나의 해 니까 인수분해하면,

 

이제 이 방정식을 만족하는 나머지 두 개의 해는 뒤의 2차식이 0 이 되는 것 뿐인데,

 

어떤 숫자의 제곱이 음수여야 한다는 다소 황당한 결과를 얻게 된다.

 

결국

다음을 만족하는 x 가 있어야 한다는 말인데..

 

실수 (real number) 의 체계만 가지고는 해결이 안되는 문제인 것.

 

이를 해결하기 위해서 새로운 수 체계의 도입은 필수적이고, 그 결과로 도입된 것이 허수인 것이다.

 

 

 

[071-004] 마무리.

양자역학을 보다보면,

파동함수를 가지고 모든걸 기술하는데, 그래서 파동함수를 찾아보면 삼각함수가 어쩌고, 실수부가 어쩌고, 허수부가 있는데 이걸 또 제곱하면 실수가 되니까 뭐가 되고…

 

하는 뭐 좀 이상한 얘기를 계속 보게 된다.

 

 

굳이 좀 엮어 보자면,

 

드브로이는 물질파의 도입으로 입자의 파동적 성질을 제안했고,

https://physicslog.tistory.com/entry/014-%EC%9E%85%EC%9E%90%EC%9D%98-%ED%8C%8C%EB%8F%99%EC%A0%81-%EC%84%B1%EC%A7%88

[014] 입자의 파동적 성질 - Wave Particle Duality

 

 

양자입자 라는 새로운 모델을 도입해서 파동/입자 이중성을 다루었고,

https://physicslog.tistory.com/entry/015-%EC%83%88%EB%A1%9C%EC%9A%B4-%EB%AA%A8%EB%8D%B8-%EC%96%91%EC%9E%90-%EC%9E%85%EC%9E%90

[015] 새로운 모델 : 양자 입자 - Quantum Particle

 

 

파동을 이용해서 모든 현상의 설명이 가능하긴 한 거 같은데, 오일러가 삼각함수와 지수함수가 동등함을 밝히면서,

https://physicslog.tistory.com/entry/020-01-%ED%8C%8C%EB%8F%99%ED%95%A8%EC%88%98%EB%A5%BC-%EC%93%B0%EA%B8%B0-II?category=891980

[020-01] 파동함수를 쓰기 II

 

 

파동을 지수함수로 기술하려면 허수단위 i 의 도입은 필수적이 되었고…

 

양자역학의 기본은 현상을 파동함수로 쓰는 것 인데,

파동함수가 허수부를 포함하는 삼각함수의 형태이고,

이 파동함수를 제곱해야 우리에게 의미있는 확률 이다보니,

 

어찌됐건 허수에 대한 내용을 대충이라도 알아야 양자역학이 좀 덜 불편한 내용이 될 수 밖에 없는거다.

 

 

이번 얘기는 여기까지.