[005-01] 정수. 유리수. 무리수. 실수.

 

[005-01-00]

운동량에 대한 내용을 정리하다 보니 여태까지 왠지 미루고 있었던, 수학얘기를 한번 해야겠다는 생각이 들었다.

이번 글은 참고자료 없이 그간 공부하면서 내가 접근하고 이해했던 방식에 대한 이야기를 적을거라서 다른 책이나 인터넷 페이지에서 볼 수 있는 내용들과 다소 차이가 있을 수 있다. 물론 수식이야 다를게 없겠지만..

이 와중에도 오늘까지 한 3일 정도 아침저녁 씻으면서 써야하나 말아야하나, 쓴다면 뭘 어떻게 시작해서 어떻게 끝내야 하나 생각하던 중이었는데, 점심먹고 회사 책상에 앉아 있다가 문득 "어떻게든 되겠지" 라는 생각이 들어서 다짜고짜 쓰기 시작했다.

 

 

[005-01-01] 정수

글자와 숫자는 모두 기호인데, 난 글자에는 별로 호감이 없고 숫자에 관심이 많은 편 이다. 글자는 각자가 익숙하고 잘 사용 할 수 있는게 있지만, 숫자와 숫자에 관련된 기호는 그 의미를 잘 이해하고 익히면 서로 다른 글자를 쓰는 사람 끼리도 의미를 전달 할 수 있어서, 라는게 지금도 영어를 비롯한 다른 언어를 제대로 할 줄 모르는 내가 혼자 하는 생각 중 하나다.

 

우리는 1, 2, 3, ... 으로 이어지는 자연수에 가장 익숙하다. 이 숫자 집단은 아마 내가 누구와 동등하고 누가 나보다 많이 가졌는가에 대한 기준을 삼고자 만들어진게 아닌가 생각 하는데, 뭐 이건 어디까지나 내 생각이다.

 

자연수 라는 집단의 시작에 해당하는 1 에서 하나를 더 잃으면, 아무것도 없는 0 이 되고, 거기에서 하나를 더 잃으면, 우리가 사용 할 수 있는 숫자는 갑자기 어마어마하게 많아진다. 이제 음수를 다루기 시작한 것이고, 음수는 자연수의 갯수만큼이나 많으니까.

 

여기까지가 정수 라 불리는 숫자들이다. 자연수, 0, 음의 정수. 물론, 0 의 포함 관계에 대해서 아주 공부를 많이 한 수학자들이 내려준 결론이 있지만, 그렇다고 정수라는 집단의 범위가 달라지는것은 아니니까 여기서는 포함관계 까지는 다루지 말자.

 

 

[005-01-02] 유리수

어느 순간이 되자 사람들은 하나를 나누기 시작 했을텐데, 나누기는 분수와 같다. 만원을 두 사람이 나눠가지면 각각 오천원을 갖게 될테고, 이건 하나를 둘이 나눴다는 1/2 과 정확히 같은 의미다.

하나를 둘이 나누는게 가능하다면, 셋 또는 넷 또는 그보다 많은 사람이 나누는것도 가능할텐데, 1/2 과 같이 가운데 선을 하나 긋고 그 위 아래에 서로 다른 숫자 둘을 쓰면 분수가 된다. 그 의미는 나눈다는 것.

 

여기까지 오면 음수를 도입했을때 이상으로 다룰 수 있는 숫자가 어마어마하게 많아진다. 하나를 만명이 나눠가질수도 있고 (1/10,000), 이만개를 삼천명이 나눠가질수도 있으니까 (20,000/3,000), 자연수에 해당하는 그 무수히 많은 숫자들 사이 사이에 또 무수히 많은 숫자들이 생겨난거니까.

 

그리고 나눠갖는 분수의 개념을 음수까지 확장하면, 셀 수 없이 많다는게 어떤 말인지 알 수 있을만큼, 말 그대로 셀 수 없이 많은 숫자들을 다룰 수 있게 된다.

 

 

[005-01-03] 무리수

아마 이 이후부터는 정말 숫자 자체에 대한 연구를 하면서 약속을 하나씩 만들어오지 않았을까 생각 하는데, 일상 생활에서는 크게 쓸 일이 없는, 숫자 사이의 관계에 대한 개념들을 도입해야만 이야기가 진행되기 때문이다.

어떤 숫자의 제곱 이 아마 그 중에 제일 쉬운 내용이 아닐까 싶다. 4는 2의 제곱이고, 9는 3의 제곱이고, 16은 4의 제곱이다. 같은 숫자를 두번 곱해서 나오는 숫자, 2에 2를 더해도 4가 되고, 3에 6을 더해도 9가 되고, 4에 12를 더해도 16이 되는데, 굳이 "두 번 곱해서 만들어지는 숫자" 라는 약속을 만들어내기 시작한 것.

 

이제 누군가가 아주 쓸데없는 "그럼 2는 뭘 제곱하면 되나? 뭘 제곱하면 5가 되지?" 와 같은 생각을 한다. 거 참...

근데 이게 아무리 들여다봐도 우리가 지금까지 다룬 숫자들로는 이들을 나타낼 방법이 없더라는것. 그래서 도입하는 기호가 제곱근 기호인 루트(√) 다.

루트를 도입해서 우리는 원래 있던 자연수를 제곱해서 만들 수 없는 숫자 - 2,3,5, ... 13,17 과 같은 - 의 제곱근을 표현 하기로 약속 한다. 루트2 를 제곱하면 2가 되고, 루트13 을 제곱하면 13이 된다.

 

 

[005-01-04] 실수

여기까지 다룬 숫자들이 수학시간에 배운 실수(Real number) 의 범위에 포함되는 숫자들이고, 이 개념으로 만들어지는 모든 숫자를 점으로 찍으면 수직선이 완성된다.

 

거꾸로, 수직선을 빈틈없이 채우기 위해서는,

정수, 유한소수, 순환하는 무한소수, 순환하지 않는 무한소수 가 필요하고, 이들을 모두 합쳐 실수 라고 부른다. 실제로 존재하는 숫자들.

이 중에서 정수, 유한소수, 순환하는 무한소수를 포함하는 집단을 유리수 라 하고, 순환하지 않는 무한소수를 무리수 라고 하며,

유한소수는 1/2=0.5 과 같이 소수로 나타냈을때 끝이 있는 수

순환하는 무한소수는 1/7=0.142857 142857... 과 같이 소수로 나타냈을때 일정한 숫자 구간이 끝없이 반복되는 수

순환하지 않는 무한소수는 루트2 = 1.4142135623..... 와 같이 끝도 없고 반복도 되지 않는 수 를 의미한다.