[005-02] 기울기. 극한. 미분과 상상력.

 

[005-02-00] 

원래는 이 얘기를 쓸려고 시작한건데, 쓰다보니 길어져서 두 편으로 나눴다.

앞에서는 숫자에 대한 이야기를 했고, 이제 미분과 적분에 대한 이야기를 해보자.

미분과 적분이 어려운 이유는 다른 파트에 비해 더욱 이해하려고 하지 않기 때문이 아닐까 생각 한다. 물론, 풀라고 내는 문제들이 쓸데없이 어려워서 인게 제일 크지만.

미분과 적분은 인류가 할 수 있는 최고의 상상력을 기존에 가지고 있던 수학의 개념에 보태어 만들어진 개념이라고 생각한다. 이걸 이해하려면 그들이 그랬듯 나도 상상력을 동원해야 하는데, 우리나라 중고등 학생들에게 수학시간에 상상력을 가져다 쓰라는건 미친소리로 밖에는 들리지 않을테니, 어려울 수 밖에.

 

이야기의 시작은 극한과 기울기이다.

 

 

[005-02-01] 극한

극한은 앞에서 얘기한 상상력이다. 아주 커지거나, 반대로 아주 작아지거나.

"셀 수 없이 많다" 는 말을 어떻게 기호로 표현 할 수 있을까? 또는 "한없이 작다" 는 말은?

이 말들을 표현하기 위해 도입하는 개념이 극한이고, 기호는 그냥 알파벳을 쓴다.

 

이 기호는 아주 많다와 아주 적다 처럼 서로 상반되는 의미를 표현 할 때 사용하기 때문에 다른 기호와 세트를 이루는데,

위와 같은 방식이다.

저 기호 조합을 말로 하면, n 이라는게 있는데, 이게 아주 작아. 거의 0에 닿아있을 정도로. 근데 결코 0은 아니야. 이다.

한 없이 작다. 근데 0은 아니다. 이 둘을 함께 표현하고 싶을때 쓰는게 극한이다.

 

우리가 할 수 있는 최고의 상상력을 발휘하지 않고서야 어떻게 이걸 받아들일 수 있을까? 사실 극한부터는 이해한다라기 보다는 받아들인다는 말이 더 적절한 표현인지도 모르겠다.

 

 

[005-02-02] 기울기

숫자에 대한 앞의 글에서 우리는 실수와 수직선에 대해서 알게됐다. 이제 이 숫자들의 변화에 대한 이야기를 할텐데, 변화량의 비율이 기울기 이다.

한달에 10만원을 모으면, 1년 후 내 통장에는 120만원이 있을거다. 거 참 당연한소릴....

이걸 그래프로 그려볼까?

짠.

저 파란선의 기울기는 100,000 이다. 단위는 금액과 개월 수의 비율을 의미하는 원/개월 이고.

매달 10만원을 모으는 경우엔 간격을 몇 개월로 잡든 두 점 사이의 기울기는 10만/개월 이다.

1개월 부터 3개월 까지는 두 달 동안 10만 에서 30만 까지 20만원이 모였으니까 그 기울기는 20만/2개월=10만/개월

기울기는 (무언가의 변화량) / (무언가의 변화량) 즉, 변화량 사이의 비율이고, 기호로는 델타 를 쓴다.

 

 

[005-02-03] 기울기가 변하면?

2의 거듭제곱을 그린 아래 그림을 보자.

 

여기에 선을 몇 개 추가할건데,

 

노랑, 회색, 오렌지색 직선은 각각

노란색은 가로축이 5, 회색은 가로축이 3, 오렌지색은 가로축이 2 변하는 동안의 기울기를 나타낸다. 물론 각각의 직선은 평균 기울기를 의미한다.

 

한달에 10만원씩 모았을때와 달리, 가로축의 눈금 갯수에 따라 기울기가 달라진다.

 

 

[005-02-04] 기울기+극한

이제 이 두 가지 기호를 함께 쓰는 생각을 해보자.

 

우리는 통상 X축 이라고 부르는 가로축의 칸의 갯수를 5개 -> 3개 -> 2개 로 줄여가는 과정을 생각 했고, 오른쪽 극한 기호는 무언가가 아주 작음을 의미하니까, 이 둘을 이용하면 가로축 칸의 갯수를 아주 작게 변화 시키는 상황을 기호로 쓸 수 있다.

 

이 기호를 말로 쓰면, X가 변하는데, 그 변화량이 아주 작아. 거의 0에 닿아있을 정도로. 근데 결코 0은 아니야. 가 된다.

그리고 우리는 X의 거의 0에 가까울 정도로 작은 변화를 dx 라고 쓴다. 델타를 또 쓰면 큰 변화인지 작은 변화인지 헷갈리니까.

 

 

[005-02-05] 미분

사실 미분과 적분은 수학에서 미분하다 와 적분하다 의 의미로 쓰이고 있다.

 

이 기호는 말로하면 어떻게 될까?

서로 다른 두 집단에 속해 있는 원소 x 와 y 가 f 라는 일정한 관계를 가지고 연결되어 있다. 는게 저 기호가 하고자 하는 말 이다. 그냥 함수이고 마냥 숫자들끼리 연결 시키는게 아니고.

 

이제 이 이야기를 숫자를 다루는 범주로 가져오고, 여기에 변화량이라는 개념을 보태고, 극한이라는 상상력을 입히면, 다음의 관계를 얻을 수 있다.

 

x가 얼만큼 변하는 동안 그 변화에 대응하는 만큼 y (또는 f(x)) 도 변하는데, 그 두 변화량 사이의 비율이 기울기 이다.

근데 이 기울기 라는게 x 의 변화량에 따라서 달라지는 일이 생기더라는거지.

아니 그럼, 그 변화량이 너무너무 작으면 어떻게 되지?

너무너무 작다는게 그냥 작기만 한게 아니라 정말 한없이 작아서 마치 0 으로 보일만큼, 근데 결코 0은 아닌, 내가 상상 할 수 있는 가장 작은 숫자를 선택해도 그보다 작을만큼 작다면? 

도대체 상상하지 않고 이 상황을 어떻게 받아들일 수 있을까?

 

위 그림의 빨간선이 이 상황의 기울기를 표현하는 선 이고, x=0 에서의 접선 이라 부른다. 또 이 때의 기울기를 x=0 에서의 순간 기울기 라고 부르며 미분계수 라는 어려운 호칭으로 부르기도 한다.

(엑셀에서 강제로 그린 선이라 실제 접선은 아니다.)

 

 

[005-02-05] 미분한다는 것

미분한다는건 주어진 함수에 대해 아래의 식을 푼다는 것 이고, 도함수를 구하는 일 이다.

 

이제 이 식이 의미하는 바를 이해하는건 아주 쉽다.

x의 변화량과 그에 대응하는 y의 변화량의 비율을 구하는데, x의 변화량이 0에 준하는 정도로 아주 작은 경우. 쉽다.

그리고 앞에서 우리는 저 변화량이 아주 작은데 델타는 작음을 표현하는 기호가 아니니까 dx 를 쓰기로 했었고, 그럼 위의 표현을 약간 바꿀 수 있다.

 

그리고 이걸 최대한 간결하게 약속된 기호로 쓰면,

도함수가 된다.

 

미분한다 = 도함수를 구한다 = 내가 관심있는 지점에서 주어진 함수의 순간 변화율을 알기위한 함수를 구한다.

 

 

[005-02-05-01] 미분 예제

이걸 미분하면 y=2x 인데, 저 식을 그대로 풀면 정말 이게 나오는지 확인해보자.

 

책에 나와있는 공식은 이 과정을 함수마다 다 하기 귀찮으니까 결론만 정리한거니까 알아두면 무조건 편하다.

물론 공식이 생각나지 않으면 어떤 함수든 이 과정을 거치면 도함수를 구할 수 있다. 본인이 계산을 할 수 있다면..