악동의 물리로그

계의 외부와 상호작용하지 않는 고립계의 경우 계의 선형 운동량이 상수 즉, 변하지 않는다는 것에 대한 얘기를 했었다. 이는 각운동량 보존법칙과도 이어지는 얘기인데, 같은 얘기를 회전운동에 대해서도 할 수 있다. The total angular momentum of a system is constant in both magnitude and direction if the net external torque acting on the system is zero, that is, if the system is isolated. 고립계의 경우, 계의 외부에서 작용하는 토크가 없으면, 계가 갖는 각운동량의 크기와 방향은 변하지 않는다. 이를 우리는 각운동량 보존법칙 이라 하며, 선형운동량이 그랬듯, 회전운동하는 계..

역시 그림으로 시작. z 축을 중심으로 회전하는 물체의 각운동량에 대해 알아보자. 축은 원형인 물체의 중심을 지나고, 물체의 중심은 물체의 질량중심과 같다. 사실 실제로 문제를 풀때는 축이 어디 있는지, 형태가 어떤지 같은 그림으로 보면 편하지만 그냥 지나치기 쉬운 사실들이 아주 중요한 경우들이 많으니까, 내가 어떤 상황에 대한 내용을 알고 있는지, 그게 이 상황에 어떻게 적용되는지를 확인하는 과정이 매우 중요하다. 상황이 어떻게 세팅 되어 있는지 정확히 아는데 시간을 충분히 쓰라는 얘기다. 물체를 이루는 각각의 입자는 xy 평면에서 z 축 주변을 각속도 (w) 를 갖고 회전한다. mi 의 아주 작은 질량 덩어리의 각운동량은 mi vi ri (I 는 모두 아래첨자) 이고, vi = ri w 이니까 i번째..

그림으로 시작. 얼음판 위에 아주 단단히 고정되어 있는 기둥을 향해서 달려오던 스케이트 선수가 기둥을 지나치는 순간 팔을 뻗어서 기둥을 붙들면 스케이트 선수는 기둥 근처를 회전하는 운동을 하게 된다. 선형 운동량의 개념이 병진운동을 이해하고 분석하는데 유용했듯 이제 알아볼 각운동량은 위 스케이터와 같은 물체의 회전 운동을 이해하는데 도움이 된다. 선형 운동량을 다룰 때와 유사한 과정으로 각운동량에 대한 이야기를 시작해보자. 위 그림과 같이 질량 m 인 물체가 원점으로부터 r 의 위치 (vector position) 에서 p 의 선형 운동량을 갖고 움직인다고 하자. 병진운동을 다루는 중 이라면 이 물체에 가해지는 힘은 선형운동량 p 의 순간변화율을 통해 다음의 식 으로 구할 수 있다. 그런데, 물체에 가해..

이제 평면을 따라 굴러가는 운동에 대한 이야기를 해볼건데, 방바닥에 동전을 굴린 것 같은 형태의 운동이고, 이 운동은 아래 그림처럼 다소 복잡한 운동이다. 우리는 위 그림의 녹색과 빨간색선이 무엇을 의미하는지 대충 알고 있는데, 녹색은 회전 운동의 축의 이동 경로를 표현한 선 이고, 빨간색은 물체(동전)의 테두리의 특정 위치가 어떤 경로를 따라 움직이는지 나타낸 선 이다. 빨간선과 같은 경로를 사이클로이드(cycloid) 라고 부르는데, 우린 굴러가는 운동을 이제 알아보기 시작했으니까 질량 중심의 운동, 즉 녹색선에 대한 이야기를 먼저 하기로 하자. 여기서 잠시, 우리는 언젠가부터 운동하는 물체가 강체 (rigid body) 임을 가정해왔는데, 왜 굳이 강체여야 하는지에 대해서 짧게 얘기하자면, 모든 물..

앞에서 우리는 회전하는 물체의 운동에너지에 대한 이야기를 했는데, 병진운동에서 그랬듯 회전운동도 에너지의 관점으로 접근하고 이해하는게 유익하지 않을까 하는 생각을 해볼 수 있다. 역시 병진운동을 다룰때와 동일하게 물체에 작용하는 토크와 그 결과로 발생하는 회전운동 사이의 관계를 일률(power) 과 일-에너지 정리의 관점으로 다시한번 들여다보자는 이야기. 위 그림과 같이 물체의 한 점 P 에 힘 F 가 작용해서 점 O 를 중심으로 물체가 회전하는 상황에 대해 생각해보자. 물체는 당연히 회전을 할 테니까 P 가 움직이는 경로는 원 일 테지만, 그 경로의 아주 짧은구간 (무한소, infinitesimal) ds 는 직선으로 간주 할 수 있을거다. 그러면 물체를 ds 만큼 회전시키기 위해 힘이 한 일은 작용한..

물체의 위치가 변하는 병진운동에 대한 이야기를 전개하면서 우리는 운동 자체를 정의하고, 운동의 변화와 변화의 원인을 얘기하면서 힘을 도입했고, 힘의 작용과 가속도의 관계를 이야기하면서 뉴턴법칙에 대한 이야기를 했고, 그 후에 에너지를 도입해서 기술하는 과정을 거쳤는데, 이와 같은 과정으로 회전운동을 다루는 중 이다. 그래서 이번엔 회전 운동의 에너지에 대한 이야기를 할 차례. 회전운동은 기본적으로 회전축에 대한 운동이기 때문에 병진운동에서와 같은 “물체의 공간적 이동” 자체가 발생하지 않는다. 하지만, 물체를 이루는 각 부분은 정해진 궤도를 따라 “움직이긴” 하니까 이와 관련된 운동에너지가 있을것이라는 생각은 해 볼 수 있다. 그래서 이번에도 아래 그림과 같은 상황을 설정하고 시작할건데, 이제 그림을 보..

우리는 앞에서 부피를 갖는 물체의 관성모멘트를 물체가 무수히 많은 아주 작은 입자로 구성되었고, 그 입자들 각각이 갖는 관성모멘트의 합으로 구할 수 있음을 봤다. 여기서는 이 과정을 좀 더 수학적으로, 그리고 문제풀이와 같은 실제 상황에 적합한 형태의 수식으로 어떻게 표현되는지 알아볼건데, 어려운 내용은 하나도 없겠지만, 당장 문제를 풀어야 하는 사람이 아니면 이번 내용은 꼭 보지 않아도 다음 섹션으로 넘어가는데 큰 무리는 없다. 본론으로 돌아가서, 부피를 갖는 물체를 아주 작은 질량을 갖는 무수히 많은 덩어리들의 집합으로 간주하고, 그 중 i 번째 덩어리가 Δmi 의 질량을 갖는다면, 우리는 위의 식을 다음으로 바꿔 쓸 수 있다. i 번째 덩어리는 회전 중심으로부터 ri 만큼 떨어져 있고, 질량은 Δm..

우리는 앞서 뉴턴법칙에 대한 이야기를 하면서 물체에 힘이 작용하면 가속도가 발생하고, 이 가속도는 물체에 작용한 힘의 크기에 비례한다는 사실을 알게됐다. 힘이 물체의 회전을 야기하는 경향의 정도가 토크이고, 물체에 토크가 작용하면 회전운동이 일어난다는 것 까지는 알았으니까 이 사실로 실제 현상을 어떻게 해석하는지 알아 볼 차례다. 대충, “그럼 큰 토크가 작용하면 각가속도가 커지겠구나” 라는 생각을 할 수 있는데, 이 사실을 수식으로 확인하는 과정이 이번글의 주제다. 아래 그림과 같이 다루기 쉬운 아주 단순한 상황의 해석으로 이야기를 시작해보자. 질량 m 을 가진 입자가 반경 r 의 원형궤도를 따라 회전하고 있는데, 이 입자에는 접선방향 (tangential) 의 힘 Ft 와 동경방향 (radial) 의..

앞서 병진운동을 다루면서, 운동(motion) 을 변화시키는 원인을 알아봤고, 그걸 힘(force) 이라 부르기로 했었다. 그럼, 회전운동의 변화를 야기하는건 무엇일까? 이게 토크다. 여닫이문을 여는 경우를 상상해보자. 물론, 교재에는 경첩 근처 특정 부위의 문짝 표면에 수직한 방향으로 F 만큼의 힘을 가하고 어쩌고.. 복잡한 얘기들이 있지만, 우리는 문을 여는 상황만 생각하자. 대신 문 손잡이를 잡고 여는 경우와 경첩 근처 (회전 중심 근처) 를 밀어서 여는 두 가지만 나눠서 생각하자. 당연히 문 손잡이를 잡고 미는 경우가 힘이 덜 든다. 우리는 상상에서, ‘힘’을 가해서 문의 ‘회전운동’을 발생 시켰는데, 이와 같이 임의의 축에 대해 물체의 회전을 발생시키는 힘의 경향을 측정한 양을 우리는 토크(to..

교재의 영문 제목은 저렇게 되어 있는데, 한글로 옮기기에 적절한 단어들이 생각나지 않아서 대충옮겼다. 토크에 대한 이야기로 넘어가기 전에 간단하게 각속도, 각가속도가 병진운동의 속도, 가속도와 어떤 관계가 있는지 알아보자. 위 그림의 점 P 가 원운동을 할 테니까, 점 P 의 병진운동 속도벡터 (v) 는 항상 원형 경로의 수직 방향을 갖게 되므로, 우리는 P 의 병진운동 속도벡터를 접선속도 (tangential velocity) 라 부른다. 사실, 접선속도 라는 말 보다는 역시 tangential velocity 라는 영어 단어가 좀 더 익숙하고, 보통 회전운동의 선속도는 접선이다. 정도만 잘 이해해도 준수하다. 너무 당연한 얘기지만, 회전운동의 경우 물체를 구성하는 모든 입자가 회전 축을 중심으로 다 ..