[020-02] 파동함수를 쓰기 II

[020-01]

 

이제 위 두 표현이 어떤 관계가 있는지 알아보자.

이 과정은 복소수, 복소평면, 지수함수, 삼각함수 에 관한 내용들을 포함하고, 맥클로린 급수도 알면 이해가 편한데, 이걸 지금 다 하기 보다는 일단 뭐가 어떻게 되는지 부터 한번 보자.

 

 

[020-01-01] 복소평면

고등학교에서 수 체계의 마지막 단계로 복소수를 배우는데, 어떤거냐면 z=x+yi 의 형태로 수를 표현한다는거다.

i 는 제곱해서 -1 이 되는, 허수단위 라 부르는 친구인데, 별로 친한 사람은 없다. 그리고, z 의 구성을 보면 둘의 합으로 표현되는데, 앞은 실수부, 뒤는 허수부 라고 부른다. 실수와 허수는 더하거나 빼거나 하는게 되질 않아서 별 수 없이 두 부분으로 나누어 쓴 것이다.

이제 z 를 좌표평면에 나타내보자.

원래 좌표평면은 가로,세로가 모두 실수 이지만, 세로축을 허수축으로 정하면 z 를 아래와 같이 그림으로 나타낼 수 있다.

이제 z=x+yi 를 각도를 이용해서 다음으로 쓸 수 있다.

 

 

[020-01-02] 오일러공식

문제를 단순히 하고자 r=1 이라 하면, 

미분하면,

첫 항과 마지막 항을 변형하면,

적분하면,

로그 정의에 따라서

이 과정은 맥클로린 급수를 이용해서도 알 수 있는데, 미적분이 보기에 편하지 않을까 싶어서 이걸로 정리했다.

 

 

[020-01-03] 지수함수를 이용해 삼각함수를 쓴다!

위 과정의 포인트이자, 오일러 공식의 막강함은 지수함수와 삼각함수가 연결된다는 것이다.

이제 위 식의 각도 (파이) 자리에 우리가 구한 파동함수의 항 kx-wt 를 넣으면, 삼각함수로 표현되는 파동을 지수함수로도 쓸 수 있게 된 것이다. 더불어 얻는 이점은 위 과정에서 알 수 있듯, 지수함수는 수학적으로 삼각함수보다 다루기가 훨씬 쉽다.

복잡한 과정을 지수함수로 다 하고 마지막에 우리가 필요한 실수부분 또는 허수수분의 값을 가져다 쓰면 된다는거다.

 

 

[020-01-04] 정리

양자역학의 파동함수는 갑자기 나온게 아니라 실제로 파동을 함수의 형태로 쓰는것에서 나온거다.

오일러 공식을 이용하면 복잡한 삼각함수를 지수함수로 좀 이쁘게 쓸 수 있고, 다루기도 편해진다.

 

 

[참고문헌]

https://en.wikipedia.org/wiki/Sinusoidal_plane_wave

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number