[067] 누리호와 중력 그리고 구심력

 

 

누리호 발사에 즈음해서, 대체 얼마나 빠르면 지구 중력에서 벗어날 수 있고,

누리호는 얼마나 빨리 지구 주위를 돌게 되는지 얘기를 한번 해보자.

 

[067-001] 먼저 교재에 있는 중력 탈출 속력부터..

가만히 서 있다가 깡총 뛰어보면, 아주아주 잠깐 중력에서 벗어난 듯 공중으로 올라갔다가,
또 아주 금방 다시 우리는 바닥으로 떨어지는데, 대체 얼마나 빨리 뛸 수 있으면 중력에서 벗어 날 수 있을까?

 

약간 어렵게, 아래 그림과 같이 완전한 구형을 가정한 지구 표면에서 지구 중력의 영향을 받지 않는 높이까지 물체를 날리려면 얼마나 빨리 출발해야 할까?

 

 

 

 

중력과 운동에너지의 개념을 가지고 얼마나 빨리 출발해야 하는지 초기 속력을 구해보자.

 

미리 말해 둘 것은, 이 내용은 공기저항, 로켓의 구성, 특히 가장 중요한 연료 소모에 대한 내용을 전혀 포함하지 않기 때문에 실제 발사하는 로켓의 데이터와 완전히 같을 수 없다.
어디까지나 “아 이런식으로 적용해서 쓰는구나” 정도만 보기로..

 

다시 그림으로 돌아가서,

우리의 발사체는 질량 m 을 갖고 지구 표면에서 수직으로 발사된다. 초기속도는 vi, 초기 고도는 지구 반지름과 같다.
발사체가 최고 고도에 도달했을 때, 발사체의 속도는 0 으로 가정하자.

역시 좀 쉽게 알아보기 위해서 온 우주에 지구와 우리의 발사체만 존재한다고 가정하면,
에너지 보존에 따라 아래 관계가 성립하고,

 

 

 

 

발사체의 최종속도 vf 가 0 이라고 했으니까, 위의 식은

 

 

 

 

이제 우리가 대략 알아보기로 한 발사체의 초기 속도는

 

 

 

 

이제 지구 중력의 영향이 없는 상황을 위해 r max 가 무한대인 상황을 포함하면, 비로소 위 식의 vi 는 지구 중력 탈출 속력의 의미를 갖게 되고, 이는 다음으로 구할 수 있다.

 

 

 

 

신기한건 속력이 발사체의 질량을 포함하지 않는다는 것.
즉, 누리호를 쏠 때나, 사람 한 명이 날아갈 때나 같은 속력으로 출발 시킬 수만 있으면 중력에서 벗어 날 수 있다는 말이다.

 

예제를 하나 보자.

 

 

 

 

 

이 문제는 중력에 대한 아래 내용과 연결되는데,

 

 

https://physicslog.tistory.com/entry/059-13-03-%EC%97%AD%ED%95%99-%EC%A4%91%EB%A0%A5%EC%9E%A5-%EC%86%8D%EC%9D%98-%EC%9E%85%EC%9E%90-Particle-in-a-Field-Gravitational

 

 

[059-13-03] 역학 : 중력장 속의 입자 - Particle in a Field (Gravitational)

 

 

위 문제에서, 5톤의 무게를 갖는 물체를 지구 중력에서 탈출 시키기 위한 속력을 구하는 것 까지만 확인 할건데 그 값은,

 

 

 

 

따라서, 얼마나 크고 무겁든 11.2 km/s (초속 11.2 km) 보다 빠른 속도로 출발 시킬 수 있으면 지구 중력에서 벗어 날 수 있다.

 

 

[067-002] 이제 누리호 얘기. 근사와 실제.

 

그럼 최종고도 700km 에서 초속 7.5km 로 움직이는 누리호의 실제 수치와 근사로 접근해서 구하는 값이 얼마나 차이가 나는지도 확인해보자.

 

우리는 등속 원운동 하는 물체의 구심력과 구심가속도에 관한 얘기를 아래 글에서 했었는데,

 

 

https://physicslog.tistory.com/entry/032-%EC%97%AD%ED%95%99-%ED%9A%8C%EC%A0%84%EC%9A%B4%EB%8F%99%EA%B3%BC-%EB%89%B4%ED%84%B4%EB%B2%95%EC%B9%99%EC%9D%98-%EC%9D%91%EC%9A%A9-Mechanics-Circular-motion-and-other-applications-of-Newtons-laws

 

 

[032] 역학 : 회전운동과 뉴턴법칙의 응용 - Mechanics : Circular motion and other applications of Newton's laws

 

 

 

구심력, 구심가속도, 선속도 사이에는 다음의 관계가 있음을 확인했었다.

 

 

 

 

이제 여기에 누리호의 실제 데이터를 넣어서 정말 초속 7.5km 이면 궤도가 확보 되는지 확인해보자.

 

그러기 위해서 우리는 온 우주에 지구와 누리호만 있다는 고립계를 설정하고, 지구는 완전히 둥글고, 누리호는 원형 궤도를 따라 움직인다는 다양한 가정을 먼저 해야한다.

 

생각보다 가까이 있는 달의 인력도 무시하고 오로지 위의 가정만 가지고 계산을 해보는거다.

 

누리호가 궤도를 유지하기 위해 작용하는 구심력은 지구의 중력 뿐 이니까 위의 식은,

 

 

 

 

대문자 M 은 지구의 질량, 소문자 m 은 누리호의 질량, v 는 누리호의 선속도, r 은 지구 반지름과 누리호고도의 합 이고, 앞에서와 마찬가지로 누리호의 질량은 약분으로 없어지니까 우리가 귀찮은 계산을 해야 하는 식은,

 

 

 

 

신기한건 역시 누리호가 얼마나 무거운지는 계산에 포함되지 않는다.

 

이걸 계산해보면,

 

 

 

 

짠.

알고 있는 숫자들을 넣어 계산하면 누리호가 궤도를 유지하는데 필요한 속도를 얻을 수 있다.

 

 

더 길게 말할게 뭐 있나.
물리가 세상에 어떻게 접근하고, 취급하고, 결과를 얻는지 우리가 알아야 하는 이유다.

 

여기까지.

 

[참고문헌]
주 교재 : Physics for Scientists and Engineers, 9th Edition, Serway/Jewett