[007] 상대론적 운동량

[007]

지금까지 상대론에 대한 기본적인 내용을 알아봤다. 이제 상대론의 입장에서 고전물리의 운동량과 에너지가 어떻게 표현되는지 알아 볼 차례인데, 익숙한 식으로 얘기하면 F=ma 에 상대론을 적용하면 어떻게 달라지는지 알아보자는 말이다.

그렇다고 중고등학교때 배운만큼 한없이 길어지는 얘기는 아니고, 대부분 말로하는 짧은 설명이 될거고, 교재에서 다룬대로 운동량과 에너지 두 가지에 대해서만 다룰 예정이다. 

이번 글 에서는 운동량, 특히 선 운동량 (Linear momentum) 의 상대론적 표현을 알아보자.

 

 

[007-01]

운동량과 에너지의 상대론적 표현을 알아보는 일은, 입자의 운동에 대한 고전물리의 표현을 상대론의 표현으로 바꾸기위한 가장 기본적인 작업이며, 나아가 뉴턴의 운동법칙과 같은 고전물리의 법칙들이 로렌츠 변환에 의해 바뀌지 않으며, 특히 빛의 속력보다 아주 느린 상황에서는 고전물리와 동일한 방식으로 자연을 기술함을 보이는 작업의 시작이다.

 

 

[007-02] 운동량

 

 

위 그림과 같은 두 입자의 충돌을 생각해보자. 물론 이 충돌은 외부에서 영향을 받지 않는 독립된 공간에서 발생한다는 조건이 붙어야 하지만, 어려우니까 넣어두자.

정지 상태의 계, 즉 충돌이 일어나는 공간과 동일한 계 에서는 당연히 입자의 운동량이 보존되지만, 움직이는 계 에서 관측한 이 충돌을 운동량에 대한 고전물리의 정의 (p=mv) 를 그대로 적용하여 해석하면 운동량은 보존되지 못한다. (상대론의 관점에서 관찰자의 운동 상태에 따라 물체의 속도가 다르게 관측됨을 이미 우리는 알고 있다.)

특수 상대론의 첫번째 가설 : 물리법칙은 모든 관성계에서 동일해야 하고, 로렌츠 변환을 이용한 상대론적 기술이 가능함을 확인 했으니, 이 변환을 적용해도 모든 관성계에서 운동량이 보존 될 수 있는, 상대론적 운동량을 새로이 정의 할 필요가 있다.

바꾸어 말하면, 운동량에 대한 새로운 상대론적 정의는 모든 관성계에서 운동량이 보존됨을 보일 수 있어야 하며, 빛의 속도에 비해 아주 느린 속도를 다루는 경우에는 고전물리와 동일한 방식으로 현상을 설명 할 수 있어야 한다.

새로운 운동량을 앞의 시간과 공간에 대한 상대론적 기술에서 나왔던 감마 를 이용해서 다음으로 정의 하면,

 

 

여기서 m은 입자의 질량, u는 정지상태의 관찰자가 본 입자의 속도 인데, 이전 글에서 본 바와 같이 u 가 빛의 속력에 비해 아주 작으면 감마는 1에 가까워 지므로 고전물리의 운동량의 정의와 같은 형태가 됨을 알 수 있다. 이제 위 관계를 상대론적 운동량으로 정의 하자.

 

[007-02-01] 갑자기 감마가 곱해진다고??

위에서 운동량의 새로운 정의에 갑자기 감마를 곱해버리고 정의 해 버리는게 사실 상당히 불편한 부분이긴 한데, (게다가 저 식은 속도를 v 가아니라 u 로 쓰고 있어서 사실 더 불편하다.)

충돌 전,후의 운동량이 보존되어야 함을 가지고 위의 새로운 정의를 만들어내는 과정은 현대물리에서 다루는 범위라 여기서는 다루지 않기로 한다.

속도를 u 로 쓴 이유는, 앞의 로렌츠 속도 변환에서 u 를 사용한것과 같은 이유이며, 상대적으로 움직이는 계의 이동속도 v 의 효과를 포함했다는 의미이다.

나중에 혹시 기회가 되면 추가 할 생각이다. 사실 온통 수식을 사용해야하고, 어렵고 복잡한 수학을 사용하지 않아서 좀 지루한 내용이기도 하다.

 

 

 

** 감마가 왜 저 형태인지는 아래 글을 참고하면 된다. (2022.6.24. 추가)

https://physicslog.tistory.com/entry/004-%EC%83%81%EB%8C%80%EC%84%B1-%EC%9D%B4%EB%A1%A0-%ED%8A%B9%EC%88%98%EC%83%81%EB%8C%80%EB%A1%A0%EC%9D%98-%EA%B2%B0%EA%B3%BC

[004] 상대성 이론 - 특수상대론의 결과

 

 

 

[007-03] 상대론적 힘

뉴턴역학에서 물체에 작용하는 힘을 물체 운동량의 시간미분으로 정의 했듯, 물체에 가해지는 상대론적 힘을 앞의 운동량에 대한 상대론적 정의를 이용해 다음으로 쓸 수 있다.

 

 

위 관계는 뉴턴의 운동 제2법칙 F=ma 의 상대론적 표현이며, 운동량의 정의 [007-02] 에서 확인한 것 처럼 빛의 속력보다 아주 느린 속도를 다룰때는 고전물리와 정확히 같은 방식으로 현상을 기술하는 동시에 운동량 보존에 대한 상대론적 접근도 만족하는, 힘에 대한 새로운 정의임을 알 수 있다.

 

 

[참고문헌]

주 교재 : Physics for Scientists and Engineers, 9th Edition, Serway/Jewett