[006] 로렌츠 속도 변환 - The Lorentz velocity transformation equation

[006]

[005]에서 다룬 로렌츠 변환은 순간적으로 발생하는 사건이 서로 다른 운동상태에 있는 관찰자의 입장에서 어떻게 기술되는지에 대한 내용이었으며, 이를 통해 상대적으로 움직이는 계의 관찰자가 기술하는 사건 사이의 시간 간격이 정지 해 있는 관찰자의 시간과 공간 좌표로 표현됨을 확인 하였다.

이제 조금 더 복잡한 상황을 생각해보자.

 

 

[006-01]

아래 그림과 같이, 서로 다른 운동상태의 두 관찰자 (A, C) 가 움직이는 물체 (B) 를 관측하는 상황을 생각해보자.

 

 

다음의 기호로 계와 계에 속한 관찰자를 표현하자.

S = 상대적으로 정지상태인 계,

C = S 에 속한 관찰자

S' = S 에 대해 속도 v로 움직이는 계,

A = S' 에 속한 관찰자

B = 관측대상

 

A가 측정한 물체의 x 축 방향 속도 ux' 은 다음과 같다.

 

 

로렌츠변환을 이용해 dx' 과 dt' 을 정지 상태의 계에서의 관측값으로 바꿔쓰면 다음이 된다.

 

 

위 관계를 ux' 에 대입하면,

 

 

여기서 dx/dt 는 S 의 관찰자 C 가 관측한 물체의 x 방향 속도 이므로, 다음 관계를 얻을 수 있다.

 

 

위 관계를 이번 글의 제목인 로렌츠 속도 변환 (The Lorentz velocity transformation equation) 이라고 한다.

 

[006-02] 그래서 이걸 왜 구했는데?

좀 그럴싸하게, 지구에 있는 우리가 관찰자 C 의 입장에서 (물론 무언가를 관측할때 항상 우리는 이 입장이다.) 달을 향해서 날아가고 있는 우주선을 바라본다고 생각해보자.

우리가 설정한 상황에서 달은 관측대상 B 가 되고, 우주선을 타고 날아가는 사람은 관찰자 A 의 역할이 된다.

지구의 우리는 "상대적으로 정지 해 있는 입장에서" 관찰자 A 와 달의 속도를 알 수 있다. 즉, 관찰자 A는 속도 v 로 움직이고, 달은 ux 의 속도로 움직인다.

 

 

c 는 빛의 속도니까 위 식의 우변에 문자로 표기된 부분을 모두 다 아는게 되는데, 이는 곧 정지상태인 지구의 관찰자가 측정한 우주선과 달의 속도를 알면 우주선의 입장에서 달의 속도가 얼마로 관측되는지 알 수 있다는 것이다.

이게 로렌츠 속도 변환의 의미 이고, 각 기호의 의미는 다음과 같다.

ux' = 움직이는 관찰자 A 가 관측한 B 의 속도

ux = 정지상태의 관찰자 C 가 관측한 B 의 속도

v = 정지상태의 관찰자 C 가 관측한 관찰자 A 의 속도

 

[006-03] 고전물리 (우리주변) 와의 관계

이전 내용과 마찬가지로 위 식은 아주 느린속도부터 빛의 속도에 준하는 속도까지 모두 적용이 가능한데, 느린속도로 움직이는 상황을 정말 고전물리와 같이 잘 표현 하는지 알아보자.

ux 와 v 가 모두 빛의 속도에 비해 작을수록, 위 식의 분모는 1에 수렴하므로 ux'=ux-v 의 형태가 되는데, 이는 갈릴레이의 상대속도를 다룬 [002] 에서의 결과와 완전히 같다.

좀 더 알기쉽게 아래와 같이 자동차를 타고 움직이는 경우를 생각해보자.

 

 

글의 처음에 봤던 그림에서 속도만 우리가 접하기 쉬운 숫자로 바꿨다. 이제 우리는 정지한 관찰자 C 의 입장이고, 우리가 볼 때, 관찰자 A 는 시속 60km, 관측대상 B 는 시속 30km 의 속도로 같은 방향으로 움직인다.

60과 30 한 쌍의 숫자와 위에서 유도한 식을 가지고 A에게 B의 운동상태는 어떻게 보일지 확인해보자.

 

 

위 식에서 ux' 은 우리가 알고자 하는 값이고, ux = 30km/h, v = 60km/h 을 우변에 대입하면,

 

 

30x60 은 빛의 속도의 제곱에 비하면 비교가 안되게 작은 숫자니까 위 식의 분모는 1 로 취급 할 수 있으므로 다음을 결과를 얻게 되는데,

 

 

이 말은 움직이는 관찰자 A 가 관측한 B 의 속도 가 -30km/h 라는 의미이고, A 가 볼 때, B 는 시속 30km 의 속도로 왼쪽으로 움직이는 것으로 보인다는 뜻이 된다.

이는 우리가 시속 60km 로 움직이는 차에 앉아서, 우리와 같은 방향으로 시속 30km 로 달리는 차를 바라보면 그 차가 마치 두 자동차의 속도 차이만큼의 빠르기로 우리를 향해 다가오는걸로 보일거라는 갈릴레이의 상대속도 개념와 정확히 동일한 결과이다.

 

[006-04] 정말 빛의 속도가 한계일까?

신기한 상황은 관측대상 B 가 빛의 속도로 움직이는 상황에서 벌어진다. 아래의 상황을 생각해보자.

 

 

정지상태의 우리는 C 의 입장이고, A 는 v 의 속도로 움직이고 있으며, B 는 드디어 빛의 속도로 움직이고 있다.

 

 

ux = c 를 위 식에 대입하면 아래의 결과를 얻게 된다.

 

 

즉, 정지 상태의 C 가 볼 때 빛의 속도로 움직이는 물체는 관찰자 A 가 얼마의 속도로 움직이든 A 에게도 빛의 속도로 움직이는 것으로 보인다는 것 이다. (A 의 속도 v 는 계산하면서 사라지고 빛의 속도 c 만 남았다.)

아인슈타인의 두번째가설 : 빛의 속도는 계의 운동상태와 무관하게 항상 일정해야 한다. 와 정확히 같은 결과를 얻게 된 것이다. 

더욱 놀라운점은 우리의 이야기는 전기와 자기에 대한 연구에서 나온 로렌츠 변환에서 시작했는데, 특수상대론의 두번째 가정과 동일한 결과를 얻었다는 것 이다.

 

 

[006-05] 특수상대론 정리

아직 상대론의 운동량과 에너지 그리고 일반상대론에 대한 내용이 남아있긴 하지만, 여기까지 논의를 통해 특수상대론의 기본적인 내용을 알아봤다.

정리해보면,

갈릴레이의 상대속도에 대한 논의에서 출발하여, 특수상대론의 근간인 아인슈타인의 두 가지 가설을 다뤘고, 동시성, 시간, 공간에 대한 특수상대론적 해석을 알아봤다.

또한, 전기와 자기에 대한 연구에서 얻어진 로렌츠변환이 더욱 넓은의미의 자연을 기술하는데 유용함을 알게 됐으며, 아인슈타인의 상대론과 갈릴레이의 상대론은 결코 다른 이야기가 아니며, 시간과 공간은 독립적이지 않음을 알게 되었다.

더 복잡한 얘기는 빼고, 처음의 의도대로 교재에 충실한 해석은 여기까지로 하고, 다음은 지금까지의 논의를 바탕으로 뉴턴의 역학이 상대론적으로 어떻게 달라지는지 알아보자.

 

 

[참고문헌]

주 교재 : Physics for Scientists and Engineers, 9th Edition, Serway/Jewett