[005] 로렌츠 변환 - The Lorentz Transformation Equations

[005]

이전 글에서 아인슈타인 이전의 상대론적 접근과 아인슈타인의 특수상대론의 두 가지 가설, 시간과 공간에 대한 특수상대론적 해석의 결과에 대한 논의를 했다. 이제 현대물리로 분류되는 아인슈타인의 시간과 공간에 대한 특수상대론적 해석이 아주 오래전 갈릴레이의 해석과 어떤 관계를 가지고 연결이 될 수 있는지 알아보자.

 

로렌츠 변환은 1890년 (특수상대론의 발표는 1905년 이다.) Hendrik A. Lorentz 가 전기와 자기에 대한 연구를 하면서 밝혀낸 관계여서 제목에서 상대론을 언급하지 않았다.

 

실제로 전류가 흐르는 두 도선 사이에 작용하는 힘은 상대론적 효과로 기술이 가능하며, 아인슈타인은 로렌츠의 연구 내용을 특수상대론의 범주로 가져와 시공간에 대한 해석을 하는 도구로 이용하게 된다.

 

로렌츠 변환식의 유도는 나중에 포스팅 하기로 한다.

 

 

 

[005-01]

이전 글에서 다룬 시간과 공간에 대한 갈릴레이의 해석은 서로 다른 두 사건이 발생한 위치 사이의 거리가 관찰자의 운동상태와 무관했다.

아래 그림의 두 사건 P와 Q가 발생한 위치 사이의 공간적 거리를 관찰자의 운동상태와 관계없이 △x = △x' 으로 다루었다는 말.

근데 이런 접근은 특수상대론의 길이 수축에 대한 내용과 모순됨을 이제 우리는 안다. 상대적으로 정지해 있는 계 S의 관찰자가 보는 △x 와 움직이는 계 S' 의 관찰자가 보는 △x' 이 다르다는 사실을 알았으니까.

 

 

특수상대론의 결과 (시간지연, 길이수축) 를 포함하면서, 모든 속도 영역 ( 0<v<c ) 의 운동상태를 기술 할 수 있는 정확한 변환식은 어떤 형태일까?  라는 질문에 대한 답이 로렌츠 변환 이고, 아래의 식으로 기술된다.

감마는 특수상대론의 결과에서 나왔던 그 감마와 같고, x 방향 속도만 갖는 경우만 다루자.

 

 

아래 갈릴레이의 변환식과 비교해보자.

로렌츠변환과 갈릴레이 변환의 가장 큰 차이는, 상대적으로 움직이고 있는 계의 관찰자가 관측한 시간 (t') 이 정지상태의 계에 속한 관찰자가 관측한 시간 (t) 과 공간 (x) 의 좌표로 기술된다는 것 이다.

다시말하면, 상대론에서의 시간과 공간은 독립적인 개념이 아니라 밀접하게 엮여 있다는 것 이다. (이 한마디가 사실 상대론의 총체이다.)

 

 

위 그림에서 움직이는 계 S' 에서 기술된 좌표를 정지상태의 계 S 의 좌표로 바꾸는건 간단하다.

1. 운동상태는 상대적으로 반대방향을 가지므로 속도 v 를 -v 로 바꾸고,

2. 프라임이 붙은 좌표와 그렇지 않은 좌표를 바꾼다. 

그러면 아래의 식이 얻어진다.

물론 증명도 가능하겠지만, 굳이 장황하게 설명하지 않아도 이런 형태의 변환이 너무나 직관적으로 납득 된다는건 사실 좀 신기하다.

 

 

특수상대론 발표당시 아인슈타인이 한 말을 다시한번 생각해보자.

The relativity theory arose from necessity, from serious and deep contradictions in the old theory from which there seemed no escape. The strength of the new theory lies in the consistency and simplicity with which it solves all these difficulties. 

상대성 이론은 심각하고 난해한 모순에서 탈출 할 방법이 없어 보이는 예전 이론에 대한 필요성에서 생겨났다. 새로운 이론의 강점은 일관성과 단순성을 바탕으로 이러한 모든 문제를 해결하는데 있다.

 

속도가 아주 느리면 (우리의 일상에서), 감마항을 구성하는 v/c 가 1보다 훨씬 작은 수가 되므로, 감마는 1에 수렴하고, 자연스럽게 로렌츠 변환은 갈릴레이의 변환과 동일한 형태가 된다. 앞서 말한대로 아주 느린 속력부터 빛의 속력에 준하는 속력까지를 하나의 식으로 기술 할 수 있다는 말 이다.

 

 

 위 그림의 각 좌표계에 있는 관찰자가 측정한 공간 및 시간의 간격을 상대 관찰자의 입장에서 어떻게 달라지는지 이제 아래의 관계를 이용해 알 수 있다.

 

 

 

[005-02] 동시성에 대해..

[004] 상대성 이론 - 특수상대론의 결과 에서 제일 먼저 다뤘던 동시성 - 누군가에게 동시에 벌어진 사건이 다른사람에겐 동시가 아닐 수 있다. - 을 다시한번 생각해보자.

상대적으로 움직이는 계 S' 의 관찰자가 동시에 벌어졌다고 관측한 두 사건을 생각해보자.

S' 에서 두 사건의 시간 간격 △t'=0 이다. 동시에 발생한 사건이므로,

로렌츠변환에 따라 정지해있는 계 S 의 관찰자는 동일한 두 사건이 아래의 시간적 차이를 두고 발생 한 것으로 관측한다.

 

여기서 △t'=0 이므로, S 에 속해있는 관찰자에게 두 사건은

운동 상태의 계 S' 의 관찰자가 보는 두 사건 사이의 공간적 거리에 비례하는 만큼의 시간 간격이 발생하는 것으로 관측하게 된다. 사건 사이의 거리가 멀 수록 긴 시간차이를 관측한다.

물론 속도 (v) 가 느려질수록 v/c^2 이 0 에 수렴하므로 운동상태에 관계 없이 두 관찰자는 동시에 일어난 사건으로 관측한다.

 

 

 

[005-03]

다음은 로렌츠 속도 변환을 이용해 움직이고 있는 물체를 상대적 운동을 하고 있는 두 계에서는 어떻게 관측하게 되는지 알아보자.

 

 

요약

 1. 로렌츠 변환은 특수상대론의 결과를 포함하면서, 모든 속도 영역의 운동상태를 기술 할 수 있는 정확한 변환이다.

2. 상대론에서의 시간과 공간은 독립적인 개념이 아니라 밀접하게 엮여 있다.

 

 

 

[참고문헌]

주 교재 : Physics for Scientists and Engineers, 9th Edition, Serway/Jewett