[004] 상대성 이론 - 특수상대론의 결과

[004] 이번 게시물은 좀 길다.

 

특수 상대론의 결과를  동시성,  시간 간격,  길이 에 대한 상대론적 설명을 통해 알아보자.

앞으로의 내용은 특수상대론의 두 가지 가설을 바탕으로 하며, 모든 관성계에서 동일한 속력을 갖는 빛을 가지고 하는 실험들을 바탕으로 설명하게 된다.

 

특수상대론의 두 가지 가설은 아래 링크에 정리되어 있다.

 

https://physicslog.tistory.com/entry/003-%EC%83%81%EB%8C%80%EC%84%B1-%EC%9D%B4%EB%A1%A0-%EC%95%84%EC%9D%B8%EC%8A%88%ED%83%80%EC%9D%B8%EC%9D%98-%ED%8A%B9%EC%88%98-%EC%83%81%EB%8C%80%EC%84%B1-%EC%9D%B4%EB%A1%A0

[003] 상대성 이론 - 특수상대론의 가설

 

 

 

 

[004-01] 동시성 (Simultaneity)

뉴턴역학은 모든 관찰자에게 동일하게 적용되는 보편적인 시간이 존재함을 전제로 했는데, 아인슈타인은 이 전제를 받아들이지 않았다. 즉, 누군가는 동시에 벌어졌다고 말하는 사건이 다른사람에게는 동시가 아닐수도 있다는 말이다.

아래 사고실험을 생각해보자.

 

 

위 그림의 (a) 상황에 기차의 앞뒤 끝에서 동시에 스파크가 발생했다고 가정하자.

     A, B, A', B' 은 스파크가 발생한 순간 기차의 양 끝

     O 는 스파크가 발생한 순간 기차의 가운데 지점 (기차 밖)

     O' 은 스파크가 발생한 순간 기차의 가운데 지점 (기차 안)

기차 밖 O 의 위치에 있는 관찰자는 앞뒤 끝에서 동시에 스파크가 일어난 것을 관측하게 된다.

 

기차 안 O' 에 있는 사람은 스파크가 발생한 순간부터 관측 되는 순간까지 일정한 속도로 움직이는데, 때문에 기차의 앞 (B') 에서 발생한 신호를 "맞으러" 가게되고, 기차의 뒤 (A') 에서 발생한 신호로 부터 "멀어지는" 상황이 되어 B' 에서 출발한 신호를 먼저 받게 된다.

 

이 사고 실험은 다음의 의미를 갖는다.

동시성이란 관찰자의 운동상태에 영향을 받는 (관성 기준계에 따라 동시가 아닐 수 있는) 상대적 개념이다.

이를 동시성의 상대성 (Relativity of simultaneity) 이라고 표현한다.

어딘가 모순이 있어 보이는 동시성의 상대성은 로렌츠변환을 이용해 증명이 되는데, 교재의 순서대로 먼저 시간지연과 길이 수축에 대한 내용을 다루고 로렌츠 변환으로 넘어가기로 하자.

 

 

 

[004-02] 시간지연 (Time Dilation) 

※ 사실 지연 보다는 팽창이라는 단어가 더 잘 맞는 표현이라고 생각한다. 간격의 변화가 생기는 것 이어서..

 

동일한 사건의 시간 간격의 차이를 측정 할 수 있도록 서로 다른 관성계에 있는 관찰자 (일정한 속도로 움직이는 기차의 안과 밖) 를 생각해보자.

 

기차 안과 밖의 사람은 둘 중 누군가가 일정한 속도로 움직인다는 사실을 알고 있고, 각각의 관성계에서 그들은 정지한 상태이다. 즉, 상대방이 움직이는걸로 보인다는 말.

 

 

기차 천장에는 거울이 설치되어 있고, 기차 안의 사람은 손전등과 시계를 가지고 있으며, 두 사람 모두 기차 안의 시계로 시간을 측정한다.

손전등에서 한순간 빛이 반짝 하는 것을 "사건1" 이라 하고, 천장의 거울에 반사 된 뒤, 다시 손전등에 도착하는 것을 "사건2" 라 하고, 기차 안과 밖의 관찰자가 측정한 시간 간격을 △tp 와 △t 로 쓰자.

사건1 (빛의 방출)  ~  사건2 (빛의 도착) 사이의 시간 간격을 기차 안밖의 두 사람은 어떻게 관측하게 될까?

 

기차 안의 사람은 귤을 던졌다 받는것처럼 빛이 본인 머리 위의 거울에 반사되어 돌아오는 수직운동만 하는 것으로 관측을 하게 된다.

위의 그림 (c) 를 참조하면, 빛은 손전등 ~ 천장 사이 거리 (d) 를 왕복하므로, 기차 안의 사람이 측정한 시간 간격은 다음과 같다.

 

 

이제 같은 사건을 기차 밖의 사람이 관측하는 상황을 생각해보자.

그림 (c)와 같이 빛이 거울에 도달하는 동안(△t/2) 기차는 일정한 속도로 움직이므로 거울은 오른쪽으로 v x △t/2 만큼 이동한다. 

이제 특수상대론의 두번째 가설을 고려하면, 기차 안과 밖의 관찰자가 보는 빛의 속도는 같은데, 기차 밖의 관찰자가 보는 빛의 이동거리가 길기 때문에 기차 밖에서 측정한 시간 △t 가 안에서 측정한 시간 △tp 보다 길다. (두 사람 모두 기차 안에 있는 시계로 시간을 측정하고 있다.)

그럼 얼마나 더 길게 관측될까? 그림 (c) 와 피타고라스 정리를 이용해서 구해보자.

 

 

두 관측 시간 사이에 마지막줄의 감마가 곱해진만큼의 차이가 발생하고, 감마가 항상 1보다 크기 때문에, 기차 밖의 사람은 기차 안의 사람보다 반드시 긴 시간을 측정하게 된다.

이를 시간지연(Time dilation) 이라 한다.

 

위 내용을 한 줄로 정리하면,

우리가 볼 때, 움직이고 있는 시계는 우리가 지니고 있는 시계보다 느리게 간다. 는 것이다.

이 사실은 물리적 사건 뿐 아니라 화학, 생물학적인 모든 영역으로 일반화 할 수 있는데, (사실 생명활동 조차도 물리적인 사건들의 모임 이니까..) 위 사고실험에서 기차 밖의 사람이 볼 때 기차 안의 사람의 심장은 느리게 뛰는걸로 관측된다.

실제로 1976년 CERN (Conseil Européenne pour la Recherche Nucléaire, 유럽 입자물리 연구소, www(World Wide Web) 을 개발하기도 했다.) 에서는 뮤온을 빛의 속력의 99.94% 까지 가속하는 실험을 통해, 빠른 속도로 움직이는 뮤온은 우리가 볼 때 정지 해 있는 뮤온보다 붕괴하는데 30배 이상 긴 시간이 걸린다는 사실을 알아냈다. 이는 상대론의 시간지연에 대한 예측과 일치하는 결과였다.

 

 

 

[004-02-01] 기차 안의 사람이 측정한 시간을 △tp 로 쓴 이유

델타 (△) 는 변화량,  t 는 time,  p 는 proper 를 의미 하고, 고유 시간 간격 으로 옮길 수 있다.

시간지연에 대한 논의 대로 관찰자가 속해있는 관성계에 따라 사건 사이의 시간 간격이 다르게 관측될 수 있는데, 일반적으로 공간의 동일한 위치에서 사건을 관측하게 되는 사람이 측정한 시간을 고유시간으로 약속하여 사용한다.

앞의 시간지연에 대한 사고실험의 경우 기차안에 있는 사람이 빛의 방출과 도착 두 사건을 동일한 위치에서 관측하므로 그의 시간을 고유시간으로 취급한다.

 

 

 

[004-02-02] 자동차를 타고 100 km/h 의 빠른 속도로 움직이면 자동차 밖의 관찰자에게 시간이 느리게 가는걸로 보일까?

아니! 전혀 아니다.

아래 그래프와 표를 먼저 보자.

 

 

그래프에서 알 수 있듯 빛의 속도에 상당히 가까워져야 시간지연 효과를 발생시키는 감마의 값이 급격히 커지므로, 한시간에 겨우 100km 밖에 가지 못하는 속도에서 시간지연은 전혀 없다고 봐도 무방할 정도이다.

하나 더 예를 들면, 빛의 10% (0.1c) 속력으로 움직이는 경우 오른쪽 표를 보면 감마의 값은 1.005 이고, 따라서 이 속력에 의한 시간지연 효과는 0.5% 인데, 빛의 속력의 10% 는 대략 30,000,000 m/s 이다. (초당 3천만 미터)

음속이 340 m/s 인걸 감안하면, 살면서 시간지연을 관측 할 수 있을 만큼 빠른 속도를 마주 할 일은 사실 없다.

 

 

 

[004-02-03] 쌍둥이 역설 (The Twin Paradox)

인터스텔라에서 젋은 아빠가 귀환한 이유. 왜 아빠만 젊어?

 

 

쌍둥이가 스무살 되던 해, 한 사람은 0.95c 로 20광년 떨어진 어느 행성까지 우주여행을 출발하고, 나머지 한 사람은 지구에 남아 그를 기다리기로 했다. 우주여행을 다녀 온 후, 두 사람의 나이는 어떻게 될까.

결론은, 우주여행을 다녀 온 사람은 13살을 더 먹고, 지구의 사람은 42살을 더 먹게 된다.

여기서 역설 이라는 말은 단순히 두 사람이 나이를 먹는 속도가 달라졌다는데 있는게 아니다.

시간지연에 대한 사고실험을 다시 생각해보자. 기차 안과 밖에 있는 사람은 서로 상대방이 움직이는 것으로 보이듯이, 우주여행에서도 우주선에 타고 있는 사람은 지구에 있는 사람이 빛의 속도로 움직이는걸로 보이게 될텐데, 왜 당연히 우주선을 타고 있었던 사람이 나이를 더 먹는다는걸까?

 

사실 우주여행의 사고실험은 기차 사고실험과 같이 완전히 대칭적인 상황이 되지 않는다.

지구에 남아있던 사람에 대해 일정한 속도로 움직이는 세번째 관측자를 고려해보자. 세번째 사람이 보기에 지구에 있는 사람의 기준계(관성계)는 우주여행을 하는동안 변한적이 없다. 계속 같은 속도로 움직이고 있었다는 것이다.

그런데 우주여행을 하는 사람은 목적지에 도착할때 감속을 하고, 목적지에서의 속력은 0이며, 다시 지구로 돌아오기 위해 가속을 해야한다. 즉, 기준계의 변화가 있었다는 것이다. 이렇게되면 역설은 사라지고, 지구에 남아있던, 즉 하나의 관성계에 있었던 사람이 기차 실험에서 기차 밖에 있는 사람의 입장이 되고, 그가 지구에서 42년을 보내는 동안 우주여행을 다녀온 쌍둥이 형제는 13년의 시간이 흐른게 된다.

 

 

앞의 설명에서 공간의 동일한 위치에서 사건을 관측하게 되는 사람이 측정한 시간을 고유시간이라 했고, 우주여행자의 목적지는 지구에서 20광년 떨어져 있었으며, 0.95c 라는 비행선의 속도는 지구 관측자의 입장이었다.

 

우리는 처음부터 변하지 않는 관성계의 입장에서 상황을 보고 있었던 것이다.

 

이제 우리는 인터스텔라에서 왜 늙은 머피가 우주여행을 마치고 젊은 모습으로 돌아온 아빠를 만나게 된건지 알 수 있게 됐다.

 

 

 

[004-03] 길이 수축 (Length Contraction)

두 위치 사이의 거리도 관찰자의 기준계에 따라 다르게 측정 된다.

 

고유시간의 개념처럼 길이도 고유길이(Lp : proper length) 의 개념을 도입하는데, 물체에 대해 상대적으로 정지 해 있는 관찰자가 측정한 길이로 정의한다.

 

물체에 대해 움직이고 있는 계의 관찰자가 측정 한 길이는 항상 고유길이보다 짧으며, 이를 길이수축(length contraction) 이라고 한다.

 

그럼 길이 수축은 고유길이와 어떤 관계를 갖게될까.

별1 에서 별2 를 향해 속도 v 로 움직이는 우주선을 고려해보자.

 

 

여기서 두 명의 관찰자에 의한 시간과 공간의 표현을 생각해보자.

     관찰자1 : 두 별에 대해 정지 상태인 지구의 관찰자

     관찰자2 : 우주선을 타고 여행중인 우주선 안의 관찰자

고유길이의 정의에 따라 두 별 사이 거리에 대해 정지해 있는 지구의 관찰자1은 두 별 사이의 거리를 고유길이로 관측한다. 관찰자1이 보기에 로켓이 별2에 도착하기까지 걸리는 시간은 다음과 같다.

 

 

우주선을 타고 가는 과정이 관찰자2에게 동일한 위치(우주선 안)에서 관측되므로, 관찰자2는 여행을 하는데 고유시간이 걸린것으로 관측한다.

시간지연의 효과로 관찰자2가 관측한 고유시간은 지구의 관찰자1의 입장에서 측정한 시간과 다음의 관계를 갖는다.

 

 

우주선의 관찰자2는 고유시간동안 여행했으므로, 두 별 사이의 거리를 아래 관계로 인식한다.

 

 

지구 관찰자1의 고유길이에 대한 관계를 이용하면,

 

 

고유길이에 곱해진 값이 항상 1보다 작으므로, 물체에 대해 일정한 속도로 움직이고 있는 관찰자에게 이동방향의 길이는 물체의 고유길이보다 짧게 측정된다.

 

쌍둥이 역설을 예로 들면,

지구에 남아있던 사람에게 빛의 속력의 95%로 21년의 시간이 필요한 목적지까지의 거리가 우주선 탑승자에게는 6.5년만에 도착 할 수 있는 거리로 관측된다는 내용으로 이해해도 된다.

 

지구의 관찰자는 고유길이와 지연된 시간을 관측하고,

우주선의 관찰자는 수축한 길이와 고유시간을 관측한다.

 

 

 

[004-04] 정리

여기까지가 동시성, 시간간격, 길이에 대한 특수상대론적 설명이었다.

다음은 로렌츠 변환을 통해 시간과 공간 사이에 어떤관계가 만들어지는지 알아보자.

 

 

세 줄 요약

1. 동시성이란 관찰자의 운동상태에 영향을 받는 상대적 개념이다.

2. 우리가 볼 때, 움직이고 있는 시계는 우리가 지니고 있는 시계보다 느리게 간다.

3. 상대적으로 움직이고 있는 관찰자에게 관측대상의 길이는 물체의 고유길이보다 짧게 측정된다.

 

 

[참고문헌]

주 교재 : Physics for Scientists and Engineers, 9th Edition, Serway/Jewett

https://en.wikipedia.org/wiki/Length_contraction

https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3537021&cid=60217&categoryId=60217

https://en.wikipedia.org/wiki/Relativity_of_simultaneity