[063-23-03] 전자기학 : 쿨롱의 법칙 - Coulomb’s Law

이제 쿨롱의 법칙에 대한 이야기를 해 보자.
이 사람이 쿨롱인데,

1700년대에 무슨이유에선지 비틀림저울 (torsion balance) 이라는 아래와 같은 장치를 만들어서 대전된 물체 사이에 작용하는 전기력을 측정했다.
주막에서 술 먹던 조선시대에 왜 그런거야 대체.

비틀림저울의 동작 원리는 만유인력에 대한 글에서 언급했던 캐번디시의 실험장치와 동일한데, 캐번디시의 실험장치에서 전기적으로 중성인 구를 대전된 구로 바꾸면 비틀림저울이 된다.
https://physicslog.tistory.com/entry/056-13-01-%EC%97%AD%ED%95%99-%EB%A7%8C%EC%9C%A0%EC%9D%B8%EB%A0%A5%EC%9D%98-%EB%89%B4%ED%84%B4%EB%B2%95%EC%B9%99-Newtons-Law-of-Universal-Graviatation

[056-13-01] 역학 : 만유인력의 뉴턴법칙 - Newton's Law of Universal Graviatation

위 장치의 대전된 물체 A, B 사이에 작용하는 전기력 때문에 두 물체는 서로 밀어내거나 끌어당기는데, 이에의해 긴 관속에 있는 줄 (fiber) 이 비틀리게 된다.
비틀린 줄이 원래 상태로 복원하려는 토크는 (restoring torque) 줄이 전기력에 의해 비틀린 각도에 비례할텐데, 바로 이 각도가 두 물체 사이에 작용하는 전기력의 크기를 정량적으로 측정하는 근거가 된다.

그럼 두 물체의 질량 때문에 발생하는 만유인력에 의한 효과는 어떻게 취급하냐는 문제가 생기는데, 금방 알게 되겠지만 전기력은 만유인력에 비하면 어마어마어마하게 큰 힘이어서, 전기력이 작용하는 상황 이라면 만유인력은 무시해도 된다.


지금부터는 전하를 띈 물체가 갖는 질량이나 점유하는 부피에 의한 영향을 배제하고, 전하에 의한 효과만을 온전히 다루기 위해 대전된 물체 (또는 하전입자) 를 점전하 (Point Charge) 라 부르기로 하자.
이건 역학에서 질량 덩어리를 점입자로 간주해서 다뤘던것과 같은 근사이며, 지구나 달 같은 엄청나게 크고 무거운 물체도 점입자로 취급하는 설명이 가능했던 것 처럼 전기력에서도 큰 위력을 발휘한다.

실제로 전자나 양성자의 전기적 특성들은 그들을 점전하로 취급하는 접근 방식으로 아주 잘 설명됨이 밝혀져 있으니, 점전하 라는 단어 사용을 크게 불편해 하지 않아도 된다.


다시 본론으로 돌아와서,
위의 실험 장치를 이용해 두 점전하 사이에 작용하는 전기력 (또는 쿨롱 힘) 의 크기를 아래 식으로 구할 수 있다는걸 알게됐으며, 이를 쿨롱의 법칙 이라고 한다.

두 점전하 사이에는 각각의 전하량의 곱에 비례하고 둘 사이 거리의 제곱에 반비례하는 힘이 작용한다.
ke는 중력상수가 질량의 곱과 거리의 제곱을 힘과 연결시켜 줬던 것 과 같이 전하량의 곱과 거리의 제곱을 힘과 연결시켜주는 상수이며, 쿨롱 상수 (Coulomb constant) 라 부른다.


참고로,
중력상수와 만유인력에 대한 내용은 아래 글에 설명되어 있고,
https://physicslog.tistory.com/entry/056-13-01-%EC%97%AD%ED%95%99-%EB%A7%8C%EC%9C%A0%EC%9D%B8%EB%A0%A5%EC%9D%98-%EB%89%B4%ED%84%B4%EB%B2%95%EC%B9%99-Newtons-Law-of-Universal-Graviatation

[056-13-01] 역학 : 만유인력의 뉴턴법칙 - Newton's Law of Universal Graviatation

상수 (Constant) 에 대한 설명은 아래 글을 참고하면 된다.
https://physicslog.tistory.com/entry/058-%EC%83%81%EC%88%98-Constant-%EC%97%90-%EB%8C%80%ED%95%9C-%EC%9D%B4%EC%95%BC%EA%B8%B0

[058] 상수 (Constant) 에 대한 이야기.

위 식을 좀 더 자세히 알아보자.
SI 단위계에서 전하의 단위는 쿨롱 (C) 이고, 쿨롱 상수는 다음과 같다.

또, 쿨롱상수는 입실론 (epsilon) 으로 부르는 그리스 문자를 이용해서도 쓸 수 있는데,

여기서 입실론 제로 는 자유공간의 유전율 (permittivity of free space) 이고, 다음의 값을 갖는다.
자유공간 (free space) 은 진공상태인 공간으로 이해하면 된다.

뭐야 유전율은? 싶겠지만, 곧 무슨 의미인지 다루는 내용이 나올 테니 여기서는 쿨롱법칙이 유전율이라는것과 무슨 관련이 있나보구만 정도로 이해해도 된다.


앞서 이야기에서 전하는 기본량을 기준으로 움직인다고 했었고 이를 양자화 되어있다 라는 표현으로 썼었는데, 이 기본량은 하나의 전자 (-e) 또는 하나의 양성자 (+e) 의 전하량과 같고, 크기는 다음과 같다.

그러니까, 전하는 위 전하량의 정수배 만큼으로 움직인다는 것.

반대로 전자 또는 양성자가 6.24 x 10^18 개 있어야 1 쿨롱의 전하량이 된다.


거듭제곱 형태의 숫자들만 자꾸 나오니까 대체 뭐가 얼마나 크고 작은지 감이 잘 안올텐데,
헝겊으로 유리막대를 문지르는 것 같은 앞서 알아봤던 실험들에서 유리막대가 마찰을 통해 얻거나 잃는 전하량은 10^-6 C 수준으로, 마이크로 미터 (um) 가 머리카락 굵기 정도임을 생각한다면, 1C 은 상당히 큰 수준의 전하량 임을 짐작 할 수 있다.
반대로 아주 적은양의 전하 이동에 의해서 생각보다 큰 전기력이 발생 할 수 있다.


그래도 아직 “그래서 뭐 어쩌라고?” 라는 생각이 들 수도 있으니까 전자와 양성자, 중성자의 질량과 전하량에 대한 표와 예제를 하나 보자.

수소 원자는 하나의 전자와 하나의 양성자를 갖고, 그 둘은 대략 5.3 x 10^-11 m 만큼 떨어져 있는데, 수소 원자의 전자와 양성자 사이에 발생하는 전기력과 둘의 질량에 의해 발생하는 만유인력의 크기를 각각 구해서 비교해보자.

1. 둘 사이의 전기력은

2. 둘 사이의 만유인력은

짠.
앞서 말한대로 전기력은 만유인력보다 어마어마어마하게 큰 힘이고,
사실 이것은 만유인력 상수와 쿨롱 상수의 10의 거듭제곱 부분만 봐도 알 수 있다.


마지막으로,
전하의 종류는 둘이고, 점전하가 띄는 전하의 종류에 따라 전기력은 인력이거나 척력이라고 했는데, 이 사실을 보탠 벡터 형태의 쿨롱법칙을 보자.

앞의 식과 비교하면 q1, q2 의 절댓값 기호가 없어지고, r12 라는 단위벡터가 붙었고, 힘을 벡터 형태로 썼다.

단위벡터 r12 는 q1 에서 q2 로 향하는 방향을 의미하고, 전기력은 뉴턴의 세번째 운동법칙을 따르기 때문에 q1 전하가 q2 전하에 힘을 가하면, 크기가 같고 방향이 반대인 힘을 q2 전하가 q1 전하에 작용한다.

두 점전하의 전하가 반대여서 계산 결과가 음수이면 두 전하는 서로 끌어 당기고,
두 점전하의 전하가 같아서 계산 결과가 양수이면 두 전하는 서로 밀어낸다.

방향벡터 r의 방향과 두 전하의 곱에서 발생하는 양, 음 부호를 잘 고려하면 벡터형태로 쓴 쿨롱법칙이 인력과 척력 모두를 온전히 표현하고 있다는걸 확인 할 수 있다.


쿨롱의 법칙은 여기까지이고, 다음엔 전기장 속의 입자에 대한 이야기를 해보자.



[참고문헌]
주 교재 : Physics for Scientists and Engineers, 9th Edition, Serway/Jewett