[060-13-04] 역학 : 케플러의 법칙과 행성의 운동 - Kepler’s Laws and the Motion of Planets

 

케플러의 법칙에 대한 이야기는 간략히 내용을 정리하고 넘어가기로 하자.

 

하늘에 반짝이는 별을 관측하는 일은 우리가 알고있는 것 처럼 너무나 오래전부터 인류가 해 온 일 이어서 천문학은 다른 어떤 과학 분야보다 오랜 세월에 걸쳐 만들어진 학문이다.

 

간단히 하기로 했으니까, 교재에 있는 굵직한 흐름 몇 가지만 적어보자.

 

그리스의 천문학자 –라는 표현이 맞는지 모르겠지만– 톨레미 (Claudius Ptolemy) 가 2세기 –지금은 21세기– 에 주장한 별들이 지구를 중심으로 움직인다는 천동설은 이후 1400년간 행성의 움직임을 이해하는 근간이 되었고, 1543년 폴란드의 천문학자 코페르니쿠스 (Nicolaus Copernicus) 가 드디어 태양을 중심으로 별들이 움직인다는 지동설을 주장한다.

 

코페르니쿠스 사후에 태어난 티코 브라헤 (Tycho Brahe) 는 망원경도 발명되기 이전에 나침반과 쌩 눈(naked eye – 교재에 있는 표현임)으로 777개 행성과 별의 움직임을 관찰했다고 하는데, 이정도면 놀랍지도 않지.

 

이제 드디어 등장하는 케플러 (Johannes Kepler)는 티코 브라헤의 조수(assistant) 로 지낸적이 있는데, 이 때 케플러는 브라헤가 남긴 행성의 운동에 대한 방대한 자료를 얻었고, 16년에 걸쳐 행성의 운동에 대한 수학적 모델을 만들게 된다.

 

다시 말하지만 과학자들은 정말 놀라울 정도로 미련한 사람들이다.

 

그리고 케플러의 모델이 정확하다는 사실이 속속 밝혀지면서 법칙으로 인정받게 되는데,

다음의 세 가지가 케플러의 법칙이다.

 

1. 모든 행성은 하나의 초점에 태양이 위치하는 타원 궤도를 따라 움직인다.

2. 태양에서 행성을 향해 그려진 반지름 벡터는 동일한 시간 간격동안 동일한 면적을 지난다.

3. 모든 행성의 공전주기의 제곱은 타원궤도의 장축 길이 절반의 세제곱에 비례한다.

  * 장축 길이의 절반 = 궤도 장반경 = semimajor axis

 

 

…..아무리 대단한 자료를 얻고 16년의 세월을 쏟아 부었다고 해도 망원경도 없던 시절의 자료를 가지고 저만큼의 사실을 알아 낸다는건 놀라운 일이 아닐 수 없다.

 

하지만, 우리는 케플러의 법칙에 대해서는 여기까지만 알아보고, 각 법칙을 그림으로 확인하는 정도로 하고 넘어가기로 하자.

이 부분의 내용은 따로 뭔가를 유도하거나 이해가 필요한 내용이 아니라 어디까지나 엄청난 시간을 들인 관찰과 노력의 결과로 알게 된 사실들 이니까, 사실을 아는 것이면 충분하다.

 

 

1. 케플러의 첫번째 법칙

타원은 아래와 같이 생겼고, 우리가 관심있는 행성들은 빨간 궤도를 따라 움직이고 있다는 말이고, 태양은 F1 또는 F2 의 위치에 있다.

 

수성은 아래 그림의 검은 점선을 따라 움직이며, 궤도의 다른 초점 (파란점) 과 궤도의 중심 (까만점) 에는 아무것도 존재하지 않는다.

 

 

2. 케플러의 두번째 법칙

태양에서 행성을 향하는 벡터는 아래 그림의 r 인데, 이 벡터가 같은 시간간격 동안 휩쓸고 지나가는 면적은 동일하다는게 그 내용인데, 행성이 태양에 가까운 궤도를 지날 때 더 빠르게 움직인다고 이해해도 좋다.

뭔가 더 궁금하거나, 수식으로 하는 설명이 필요한 사람은 교재를 보기로 하자.

 

 

 

3. 케플러의 세번째 법칙

G 는 만유인력 상수,  Ms 는 태양의 질량,  a 는 장축 길이의 절반 (궤도 장반경)

 

Ks 는 괄호안의 값을 수치로 쓴 상수이고, 다음과 같다.

 

 

케플러의 법칙은 여기까지 하기로 하고, 13장 만유인력에 대한 이야기도 여기까지로 마칠까 한다.

교재에는 케플러의 법칙 이후로 두 개의 섹션을 통해 중력 포텐셜 에너지와 행성의 운동, 지구 탈출 속도 등에 대한 이야기를 7페이지에 걸쳐 하고 있는데,

내용이 궁금한 사람은 각자 보기로 하고, 혹시 요청이 있다면 같이 보기로 하자.

 

 

 

[참고문헌]

주 교재 : Physics for Scientists and Engineers, 9th Edition, Serway/Jewett