[057-13-02] 역학 : 자유낙하 가속도와 중력 - Free-Fall Acceleration and the Gravitational Force

지구에서 측정하는 무게 (weight) 는 중력의 크기이다.

체중계에 올라갔을 때 보는 그 숫자 그게 중력의 크기라는 얘기인데, 이게 또 쓸데없이 복잡 할 수 있는데, 저 무게는 어디까지나 지구 표면 근처 (near the Earth’s surface) 로 한정해서 사용하는 단어다.

 

앞에서 자세한 얘길 하진 않았지만, 교재 5장 운동의 법칙을 보면 중력과 무게에 대한 얘기를 한페이지 정도로 다루고 있는데, (궁금한 사람은 섹션 5.5) 여기서 물체의 무게를 중력의 크기로 정의하고, 그걸 식으로 다음과 같이 적어뒀다.

 

그리고 무게는 중력가속도 g 와 관련이 있어서, 지구 중심으로부터 멀어지면 다른값을 갖는다는 얘기도 함께 쓰여 있다.

 

그런데 우리는 지금 만유인력에 대한, 질량을 갖는 물체 사이에 작용하는 끌어당기는 힘 에 대한 이야기를 하고 있으니까, 이 사실이 무게와 어떤 관계가 있는지 알아보자.

 

우린 바로 앞의 내용에서, 지구 표면 근처에 있는 질량 m 인 물체가 지구로부터 받는 힘의 크기가 다음과 같음을 확인했는데,

 

위의 노란 박스에 있는 Fg 와 위의 Fg 는 같은 의미를 갖고 있으니까, 두 식의 우변이 같은 값을 가질테고, 그럼 다음의 관계를 얻을 수 있게 된다.

짠.

 

다시 한번,

위 두 식의 우변이 같고, 질량 m 은 양쪽에 다 있어서 약분을 하고 나니까,

왠지 중력가속도 라고 알고 있는 g 만 남았고,

이 g 가 중력상수 G 와 지구의 질량, 지구의 반지름 세 숫자로 이루어 졌다는 사실을 확인 할 수 있게 됐다.

 

그리고, 이미 숫자로 알고 있는 G 와 지구 질량과 지구 반지름을 저기에 넣으면 중학생때부터 별 생각없이 쓰던 9.8 m/s^2 이라는 숫자와 단위가 바로 이 관계에서 나왔음을 확인 할 수 있다.

 

 

여기까지는 지구 표면 근처에 대한 이야기여서 지구와 물체 사이의 거리를 지구 반지름으로 사용했는데, 이제 질량 m 인 물체가 지구 표면에서부터 멀어지는 상황을 생각해보자.

물체가 하늘로 점점 올라간다는 얘기가 되겠지.

 

어디까지나 교재에 충실하게, 물체가 지구 표면으로부터 h 만큼 올라갔을 때, 지구 중심으로부터 물체까지의 거리를 r 이라고 하면,

 

이제

물체에 작용하는 중력의 크기를 r 과 h 를 이용해 쓰면

 

여기에 글 맨 앞의 노란박스에 있던 Fg=mg 의 관계를 위 식과 함께 쓰고 물체의 질량 m 을 모두 약분하면 다음의 관계를 얻을 수 있다.

 

이 식을 말로 쓰면,

지구의 중력에 의해 발생하는 중력가속도 g 는  지구로부터의 거리가 멀어지면 감소한다.

또는 지구 표면으로부터 높이가 올라가면 감소한다.

가 되고, 따라서 질량 m 을 갖는 물체의 “무게” 는 지구로부터 아주아주아주 멀어지면 0 에 점점 가까워진다는 뭐 그런 얘기가 된다.

 

마지막으로 우리는 지금 지구에 의해 지구 주변에 형성되는 중력장 (Gravitational field) 이 어떻게 형성되는지를 확인했다.

바로 이렇게.

이게 중력장 이다.

 

참고로 교재에 있는, 고도에 따른 중력가속도의 크기를 보면서 이번 얘기를 마치고,

다음에는 중력장 속의 입자에 대한 이야기를 하기로 하자.

 

 

 

 

[참고문헌]

주 교재 : Physics for Scientists and Engineers, 9th Edition, Serway/Jewett