우리는 항상 문제를 간단히 이해하고 다루기 위해서 의미있는 결과의 차이를 발생시키지 않는 수준에서 “가상의 상황”을 가정해서 이야기를 진행해왔다. “강체”의 개념 처럼.
하지만, 현실에서 모든 물체는 하중이 가해지거나 힘이 가해지면 변형이 발생하고, 탄성을 갖는 물체는 변형을 발생시킨 원인이 제거되면 원래의 형태를 회복한다.
이번에는 이런 현상과 관련된 이야기를 짧게 다루고 12단원을 마치기로 하자.
탄성, 변형, 복원 과 관련된 이번 섹션은 공학 과목에서 특히 자주 만나는 개념인데, 물론 반도체와 같이 아주 작은 세계를 다루는 과정에서도 활용도가 높으니,
어쨌든 단어 정도는 알아두는게 좋다.
stress 와 strain 의 두 개념을 도입해서 고체의 변형에 대한 이야기를 할건데, stress 는 변형을 발생시킨 힘의 비율로 좀 더 자세히는 단위면적 당 물체에 작용한 외력의 크기 이다.
통상 변형력 또는 응력 이라는 단어로 바꿔 부르는데, 변형의 원인이 되는 힘으로 접근해도 크게 틀리지 않는다.
여기서는 변형력의 의미로 사용하는 경우가 대부분이고, 물체에 외력이 작용했을 때 물체 내부에 발생하는 저항력을 의미하는 경우 응력으로 바꿔 쓴다.
이렇게 물체에 작용한 stress 의 결과로 물체에는 strain 이 발생하는데, strain 은 물체가 겪은 변형의 정도 이고, 쉽게 변형 으로 받아들여도 또한 크게 틀리지 않는다.
지금부터 stress 는 변형력 strain 은 변형(률) 으로 바꿔쓰기로 하자.
물체에 충분히 작은 변형력이 작용하면, 변형력과 변형은 비례하고, 그 비례상수는 물체에 따라 다른데, 이 비례 상수를 우리는 탄성계수 (elastic modulus) 라 부른다.
즉, 탄성계수는 변형력과 변형의 비 이다.
탄성계수는 스프링에 가해진 힘과 스프링의 변형에 대한 훅의 법칙에 나온 스프링 상수(k) 와 비슷한 느낌적인 느낌으로 받아들여도 큰 무리가 없다.
이제 세 가지 변형의 방식과 각각의 변형에 대해 정의 할 수 있는 탄성계수 세 가지를 알아보자.
1. Young’s Modulus : Elasticity in Length
그림과 같이 단면적이 A, 길이가 Li 인 막대의 한쪽 끝을 아주 단단히 고정하고, 단면에 수직인 방향으로 힘 F 를 가하면, 막대의 길이는 Lf 까지 약간 길어진다.
물론 막대를 당기는 힘은 막대를 파손시킬 수 있는 수준이면 당연히 안되겠지?
이 상황을 막대에 변형력이 작용했다. (the bar is said to be stressed.) 고 말하고, 우리는 인장력 (tensile stress) 을 외부에서 작용한 힘의 크기 (F) 와 막대의 단면적 (A) 의 비율로 정의한다.
여기서 단면적은 작용한 힘 벡터에 수직인 경우를 말하는데, 둘 사이에 각도가 있으면 그 각도의 코사인 만큼의 힘만 유효하게 된다.
또,
인장 변형률 (tensile strain) 은 길이의 변화량과 원래 길이의 비율로 정의 하는데, strain 을 변형률로 쓴 건 둘의 비율을 의미하기 때문이고, strain 은 변형, 변형률 모두에 공통으로 쓰인다.
이제 이 둘로 영률 (Young’s modulus) 을 다음으로 정의한다.
비율과 비율의 비율이다. 어휴 복잡해.
영률의 단위는, 분모의 변형의 비율이 단위가 없어서 변형력과 같은 단위 면적당 힘이 된다.
물체에 상대적으로 작은 힘이 가해지면 변형이 일어나긴 하지만 힘이 제거되면 물체는 원래의 상태로 돌아가는데, 이렇게 힘이 제거된 후에 물체가 원래의 상태로 돌아 갈 수 있는 최대 변형력의 크기를 탄성한계 (elastic limit) 이라 부른다.
보통은 아래 그래프와 같이 탄성한계 이전까지 변형력과 변형은 비례하고, 탄성한계 보다 큰 힘을 겪은 물체는 영구변형이 일어난다.
2. Shear Modulus – Elasticity of Shape
길이의 변화에 대한 영률을 알아봤으니, 면적에 대한 얘기가 나올텐데,
고정되어 있는 면의 반대쪽 면에 수평 방향의 힘이 작용해 발생하는 변형에 대한 내용이다.
말이 뭐 엄청 복잡한거 같은데, 그림을 보면 쉽다.
그림 a 를 보면 영률과 차이를 알 수 있는데, 영률에서 힘 F 는 면 A 에 수직이었지만 이번엔 다르다.
이런 방식으로 작용하는 변형력을 전단 응력 (shear stress) 이라 한다.
전단계수의 정의는 영률과 비슷한데,
작용한 힘의 크기와 단면의 비율을 전단응력 (shear stress),
힘이 작용한 면의 길이 변화량과 물체의 원래 높이의 비율을 전단 변형률 (shear strain) 이라 하고,
이 둘의 비율을 전단 계수 (shear modulus) 라 한다.
전단계수 역시 전단 변형률이 단위를 갖지 않으므로 단위 면적 당 힘을 단위로 갖는다.
3. Bulk Modulus – Volume Elasticity
선과 면의 변형에 대한 이야기를 했으니 이제 부피 변형에 대한 얘기가 나올 차례.
그림부터 보자.
체적 탄성 계수는 물체를 이루는 모든 면에 수직인 방향으로 같은 크기의 힘이 작용하는 경우 발생하는 물체의 변형에 대한 설명이다.
이렇게되면 물체는 형태의 변형은 발생하지 않고 부피만 변한다.
앞의 두 경우와 비슷하게 체적 변형력은 물체의 표면적 A 와 표면에 작용하는 모든 힘의 크기 F 의 비율로 정의 하는데, 여기서 나오는 힘과 면적의 비율 (F/A) 을 우리는 압력 (pressure) 이라 부른다.
압력에 대한 얘기는 뒤에서 다시 하기로 하고.
압력의 변화가 생기면 물체의 부피가 변할텐데, 체적 변형률은 원래 부피와 부피의 변화량의 비율과 같다.
이제 이 둘로 체적 탄성 계수는 다음으로 정의한다.
영률, 전단 계수와 달리 체적 탄성 계수는 마이너스 부호를 갖는데, 요건 잘 생각해보면 별거 아니다.
분자는 압력의 증가량을 의미하니까 양수 이지만, 이에 의해 부피는 감소하니까 분모가 음수가 되기 때문이다.
반대로 압력이 감소하면 분자는 음수가 되고, 부피는 커져서 양수가 되니까 역시 계수에는 마이너스를 붙여 같은 의미를 갖도록 한다.
체적 탄성 계수의 역수를 물체의 압축률 (compressibility) 라 한다.
교재에 텅스텐, 철, 유리 등 다양한 물질의 탄성계수 자료가 표로 정리되어 있으니 필요한 사람은 참고 하시길.
여기까지 12단원을 마치고,
다음에는 그 이름도 찬란한 만유인력에 대한 이야기를 시작해보자.
[참고문헌]
주 교재 : Physics for Scientists and Engineers, 9th Edition, Serway/Jewett