[052-11-03] 역학 : 회전하는 물체의 각운동량 - Angular Momentum of a Rotating Rigid Object

역시 그림으로 시작.

 

z 축을 중심으로 회전하는 물체의 각운동량에 대해 알아보자. 축은 원형인 물체의 중심을 지나고, 물체의 중심은 물체의 질량중심과 같다.

 

사실 실제로 문제를 풀때는 축이 어디 있는지, 형태가 어떤지 같은 그림으로 보면 편하지만 그냥 지나치기 쉬운 사실들이 아주 중요한 경우들이 많으니까, 내가 어떤 상황에 대한 내용을 알고 있는지, 그게 이 상황에 어떻게 적용되는지를 확인하는 과정이 매우 중요하다.

상황이 어떻게 세팅 되어 있는지 정확히 아는데 시간을 충분히 쓰라는 얘기다.

 

물체를 이루는 각각의 입자는 xy 평면에서 z 축 주변을 각속도 (w) 를 갖고 회전한다.

mi 의 아주 작은 질량 덩어리의 각운동량은 mi vi ri (I 는 모두 아래첨자) 이고, vi = ri w 이니까 i번째 입자의 각운동량은 다음으로 쓸 수 있다.

각운동량의 방향은 각속도 (w) 의 방향과 같고, 모든 입자의 각속도는 같으니까 w 에는 첨자 i 가 붙지 않는다.

 

이제 물체 전체의 각운동량은 물체를 구성하는 모든 입자의 각운동량의 합으로 구할 수 있다.

위 식의 괄호 안의 값은 물체의 관성모멘트이고, 이 식은 병진운동하는 물체의 선형 운동량과 왠지 형태가 비슷하다.

 

굳이 선형운동량 얘기를 왜 꺼냈을까?

 

위 노란 박스에 있는 식을 시간에 대해 미분하면 다음 과정을 거치게 되는데,

물체의 관성모멘트는 시간에 따라 변화하지 않으니까, 미분은 각속도에만 작용하고, 각속도의 시간에 대한 미분은 각가속도가 된다. 물론 지금 다루는 물체의 각가속도의 방향은 z축 이다.

 

우리는 바로 이전 글에서 각운동량의 미분이 물체에 작용한 토크와 같다는 사실을 확인했다.

 

그러니까 결론은,

각운동량의 시간에 대한 미분은 물체에 작용한 토크와 같고,

각운동량의 시간에 대한 미분은 물체의 관성모멘트와 각가속도의 곱과 같다.

 

이 결과는 물체에 작용한 힘의 개념에서 시작해서 얻었던 결과와 동일하고, 왠지 병진운동에서 본 힘과 가속도의 관계와 비슷하다.

 

이번 내용은 여기까지이고, 다음엔 환경과 상호작용하지 않는 고립계의 각운동량에 대한 이야기를 해보자.

 

 

 

[참고문헌]

주 교재 : Physics for Scientists and Engineers, 9th Edition, Serway/Jewett