[037-09-03] 역학 : 선형 운동량과 충돌 : 운동량의 비고립계 적용

[037-09-03] 운동량의 비고립계 적용 - Analysis model : Nonisolated system (momentum)

*제목은 이렇지만 운동량과 충격량에 대한 이야기이다.

 

이 식은 물체에 힘이 가해지면 운동량이 변한다는 이야기를 하고 있다. 같은 이야기를 계 (system) 에 대해서도 할 수 있는데, 주변 환경으로부터 계에 힘이 작용하면 계의 운동량이 변한다. 가 되겠다. 이에대한 이야기는 섹션 9.7에서 정확하게 다룰건데, 이번 이야기는 뉴턴의 두번째 운동법칙인 위의 식에서 시작한다.

 

물체와 계의 운동량에 대한 이 이야기는 계의 경계를 지나는 에너지 전달이 발생하면 계의 에너지가 변한다. 와 같은, 앞에서 에너지에 대한 이야기를 할 때와 아주 비슷하다.

에너지에 대한 이야기에서 계의 경계를 지나는 에너지 전달이 발생하는 경우 비고립계라고 했던것과 같이, 운동량의 관점에서 시간 간격을 두고 외부에서 계에 힘이 작용 하는 경우 비고립계라고 하며, 이 때 주변 환경에서 힘에 의해 계에 전달되는것이 운동량 이다.

 

이제 이 얘기를 좀 더 자세히 해보자.

 

물체에 힘이 작용하는데, 이 힘이 시간에 따라 변한다면 어떻게 될까?  이야기를 시작할 때 가져온 식을 약간 변형하면,

미분기호를 막 곱하고 어쩌고 하는게 거슬릴수도 있는데, 이건 오류없이 기호를 다루는 아주 간단한 방법이다. 그래도 불편하다면, d 를 △(델타) 로 받아들여도 된다. 즉, dp 는 운동량의 변화량, dt 는 운동량의 변화가 발생한 시간 간격 이다. 이젠 미분기호가 아닌게 됐지?

 

이제 저 변화를 모두 더해보자. 적분을 하자는 얘기인데, 우리가 관심있는 시간동안 얼만큼의 힘이 작용했고, 또 얼만큼의 운동량 변화가 발생했는지 알아보자는 것.

물체의 처음 운동량과 나중 운동량을 이용해서 적분의 결과를 쓰면,

운동량의 변화량은 나중 운동량과 처음 운동량의 차이와 같고, 힘을 그 시간간격동안 적분한것과도 같다.

 

힘이 시간에 따라 어떻게 변화했는지를 알면 적분의 결과를 정확히 알 수 있겠지?

물리에서는 오른쪽 적분의 결과로 얻어지는 값에 충격량 (Impulse) 이라는 이름을 붙여서 다루는데, 정의는, 특정 시간 간격에 걸쳐 입자에 작용한 힘에 의한 충격량 이다.

정의에 따라 충격량은 벡터이고, 힘-시간 그래프에서 시간에 따라 변화하는 힘의 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이와 같은 크기를 갖는다. 또, 충격량은 운동량의 변화와 같은 방향을 가지며, 운동량과 동일한 차원을 갖는다. - 써놓고 보니까 복잡하네.

 

우리는 입자에 충격량을 전달하는 힘이 시간에 따라 변한다는 설정으로 이야기를 진행해왔는데, 상황을 좀 단순하게 고려 할 필요가 있다면, 해당 시간 간격동안 힘의 평균을 도입 할 수도 있다. 그러면 힘의 평균은 다음과 같고,

이 표현을 위의 그래프에 도입하면,

 

이렇게 하면, 우리가 관심있는 시간 간격동안 위 식으로 얻어지는 평균 힘이 일정하게 물체에 작용했다는 접근이 가능해지고, 그러면 적분기호를 포함하는 충격량의 정의는 다음으로 쓸 수 있게 된다.

 

원리적으로, 물체에 작용하는 힘이 시간에 따라 어떻게 변하는지를 정확하게 알면, 즉 F(t) 의 형태를 알면, 이 힘을 적분해서 충격량을 구할 수 있다. 또 이 계산은 F(t) 의 형태가 단순할수록 쉬우니까, 작용한 힘의 크기를 상수로 취급 할 수 있는 경우에 제일 쉬워진다. 굳이 힘의 평균 이라는 개념을 도입하는 이유다.

 

여기까지 내용을 한 문장과 하나의 식으로 정리해서 충격량-운동량 정리 (impulse-momentum theorem) 라 부른다.

물체의 운동량의 변화는 물체에 작용한 힘의 충격량과 같다.

 

 

이번 이야기는 뉴턴의 두번째 운동법칙인 아래의 식에서 시작했는데,

바꿔 말하면, 운동량에 대한 이야기는 사실 뉴턴의 두번째 운동법칙과 완전히 같은 이야기 이다.

 

물체에 충격량이 전달되었다는 말은 외부 요인으로부터 물체에 운동량이 전달되었다는 말과 같은 말이다.

 

에너지 보존에 대한 이야기를 할 때, 계의 외부에서 계에 전달되는 모든 형태의 에너지는 고스란히 계의 에너지 변화로 작용한다는 이야기를 했고, 아래의 복잡해 보이는 식과 이를 단순한게 표현한 식으로 표현 했었다.

 

이와 동일하게, 운동량의 변화량과 충격량이 같다는 이야기를 운동량 보존 (conservation of momentum) 이라 부르며, 아래의 식을 운동량 보존 방정식 이라 부른다.

 

에너지 보존을 통해 계의 에너지 변화와 계와 외부 환경과의 상호작용을 이해했듯, 계의 운동량의 변화를 알면 계에 힘이 작용하는 동안 계에 전달된 운동량의 크기 즉, 계와 외부의 상호작용을 이해 할 수 있다는 이야기다.

 

교재에서는 이 뒤에 에너지 보존의 에너지는 스칼라이고, 운동량 보존의 운동량은 벡터여서 그에 해당하는 만큼의 차이가 있고, 에너지는 다양한 형태로 전달되지만 운동량은 형태가 하나여서 또 그만큼에 해당하는 차이가 있다는 어려운 이야기가 이어지는데, 여기에서는 넘어가기로 하자.

 

에너지와 운동량이 보존된다는, 하여튼 작용한건 어떤식으로든 영향을 미친다는 사실을 잘 이해하는것이 여기에 페이지를 추가하는 목적 이니까.

 

 

[참고문헌]

주 교재 : Physics for Scientists and Engineers, 9th Edition, Serway/Jewett