[035-09-01] 역학 : 선형 운동량과 충돌 : 선형 운동량 (Linear momentum)

* 이전 까지는 교재의 챕터 하나를 하나의 글로 정리했었는데, 이제 챕터마다 내용이 많아져서 그렇게 쓰기가 어려워졌습니다. 이제 섹션마다 하나씩 정리를 하려고 합니다.

* 제목의 번호 순서는 [글 번호 - 챕터 - 섹션] 입니다.

 

[035] 

위와 같이 두 대의 차량이 충돌하는 상황을 생각해보자.

두 차는 충돌에 의해 아주 큰 속도를 갖는 상태에서 정지 상태로 운동 상태가 바뀌는데, 충돌이 발생하는 아주 짧은 시간 동안 큰 속도의 변화가 발생하기 때문에 자동차에 작용하는 평균 힘은 아주 크다.

뉴턴의 세번째 운동 법칙에 의해 두 자동차는 같은 크기의 힘을 받게 되고, 뉴턴의 두번째 운동 법칙에 의해 이 힘이 자동차의 운동에 미치는 영향은 자동차의 질량에 따라 다르다. 고는 하지만, 사실 차와 차가 정면충돌 하는 상황을 줘 놓고 이렇게 설명하는건 도무지 와 닿지가 않는다.

 

이번 챕터에서는 운동량 (momemtum) 의 개념을 도입하고, 앞에서 다룬 힘 또는 에너지와 어떤 차이가 있고, 어떻게 응용 할 수 있는지를 알아볼거다.

운동량은 운동량 보존 이라는 두번째 보존 법칙과 관련있는 아주 중요한 개념이기도 하다.

또, 질량중심을 도입해서, 아주 많은 입자로 이루어진, 부피를 갖는 물체의 움직임을 질량중심에 위치한 입자 하나의 운동으로 간단히 설명 할 수 있다는 사실도 알아보자.

 

 

[035-09-01] 선형 운동량 - Linear momentum

힘, 에너지 그리고 뉴턴 법칙으로 주어진 상황을 분석하는게 그다지 쉬운일이 아님을 앞에서 알 수 있었다. 문제를 풀어보면 짜증이 날 수도 있는데, 어차피 이렇게 어려울거면 왜 법칙이라고 하나? 싶을때도 있다.

앞에서 에너지 보존을 이용해서 주어진 상황을 분석 할 수 있다는걸 알아봤는데, 이제 아래와 같이 약간 다른 상황을 가정하고, 이전과 동일한 방법으로 문제를 해결 할 수 있는지 먼저 알아보자.

상황) 몸무게 60kg 인 양궁선수가 마찰이 없는 얼음판 위에 서서 0.03kg 의 화살을 85m/s 의 속도로 수평방향으로 쏜다면, 화살 발사 후 양궁선수는 얼만큼의 속도로 움직이게 되나?

앞에서 다룬 내용으로 먼저 시작해보자. F=ma

뉴턴의 세번째 법칙에 따라 활이 화살에 작용한 힘은 방향이 반대인 힘과 짝을 이룬다는걸 알고 있다. 이 힘은 양궁선수를 화살의 반대방향으로 어느정도의 속력을 갖고 움직이도록 만들거다. 여기까지는 그러련 할 수 있다.

그런데, 양궁선수가 갖는 가속도에 대한 정보가 전혀 없기 때문에 일정한 가속도를 갖는 입자의 운동을 분석했던 방식으로는 양궁선수가 갖게 될 속력을 구할 수 없다. 뉴턴의 두번째 법칙을 이용 할 수 없다는 얘기.

또한 활이 화살과 양궁선수에게 작용하는 힘의 크기도 알 수가 없어서 힘을 기반으로 하는 분석 방법도 사용 할 수가 없다. 어휴 답답해. 뭐가 이래.

F=ma 를 구성하는 항 중 양궁선수와 화살의 질량 말고는 아는게 없어서 이런 상황이 됐다.

활시위를 당기는데 필요한 일의 크기나 팽팽하게 당겨진 활 시위와 관련된 탄성 에너지 등과 같은 내용들도 아는게 없으니, 앞에서 사용했던 에너지를 이용한 모델도 이번엔 무용지물이다.

 

여기에서 선형 운동량 등장.

가져다 쓰기 전에 선형 운동량의 정의부터 알아보자.  질량과 속도를 갖는 두 입자로 이루어진 다음의 고립계를 도입.

고립계니까 계 외부에서 전달되는 에너지는 없고, 저 두 입자는 그저 둘이만 꽁냥꽁냥 상호작용을 한다. 즉,

1번 입자가 2번 입자에 힘을 가하면, 크기는 같고 방향이 반대인 두번째 힘이 반드시 작용하고, 이는 2번 입자가 1번 입자에 가하는 힘이 되고, 두 힘의 합은 0 이다. 이걸 식으로 쓰면,

계의 관점에서 위의 식은, 고립계의 입자들에 작용하는 모든 힘의 합은 0 임을 의미한다. 각각의 입자들은 힘을 주고받고, 운동이 변하고 하는 과정을 겪지만, 계의 관점에서 보면 결국 작용하는 힘은 0 이다.

모든 힘이 방향이 반대이고 크기가 같은 세트로 작용 하니까.

 

이제 뉴턴의 두번째 법칙을 적용해보자. 그림의 두 입자는 각각에 작용하는 힘과 질량에 해당하는 만큼의 가속도를 가질텐데, 이 사실과 위의 힘에 관한 식을 함께 고려하면,

가속도의 정의로 표현을 바꿔보면,

입자의 질량과 속도를 곱한 값의 미분형태를 얻을 수 있고. 그 합이 0 임을 알 수 있다.

이는 고립계를 구성하는 입자 각각의 질량과 속도를 곱한 값의 합이 보존된다는 사실을 식으로 확인 한 것이고, 여기서 나온 입자의 질량과 속도의 곱을 선형 운동량 이라 부른다.

 

교재에서는 선형 운동량을 다음과 같이 정의하고 있다.

운동량은 스칼라인 질량과 벡터인 속도의 곱 이므로, 벡터이고, 방향은 입자의 속도와 같다. 또한 SI 단위계에서 kgm/s 의 단위를 갖는다.

입자가 3차원 공간에서 임의의 방향으로 움직인다면, 벡터량인 선형 운동량은 다음 세 개의 성분을 갖는다.

 

뉴턴은 물체의 질량과 속도의 곱을 “운동의 양 (quantity of motion)” 이라고 불렀는데, 이는 movement 를 뜻하는 라틴어에서 유래한 momentum 보다 좀 더 이미지화 하기 좋은 단어가 아닌가 싶다.

 

 

여기까지 봤으면 진도를 나가는데 큰 무리없는 내용까지 본거니까 아래 내용은 안봐도 됨.

 

이제 약간 다른 얘기를 해보자.

앞에서 에너지에 대한 이야기를 할 때, 질량과 속력이 곱해진 형태의 에너지를 운동에너지라는 이름으로 다루었는데, 똑같이 질량과 속도로 이루어진 운동량 이라는 개념이 대체 왜 필요한지 의문이 생길 수 있다.

앞에 1/2 이 곱해져 있지 않고, 속력을 제곱하지 않으니까? 값이 그만큼 다르니까?

 

운동에너지와 운동량은 분명한 차이가 있는데,

첫번째, 운동에너지는 스칼라이고, 운동량은 벡터이다. 더 이상 따질 필요가 없을정도로 어마어마한 차이다.

동일한 질량을 갖는 두 입자가 같은 속력으로 서로를 향해 움직이는 경우, 각 입자들이 운동에너지를 가지므로, 이 두 입자로 이루어진 계는 에너지를 갖지만, 벡터인 운동량은 0 이 된다. 잘 모르겠지만 하나는 0 이 아니고, 다른쪽은 0 이다. 같은 상황인데도.

두번째, 운동에너지는 다른 형태의 에너지로 변환이 가능하지만, 선형 운동량의 개념은 하나뿐이어서 운동량의 개념으로 현상을 풀이하는 경우 다른형태로의 변환이 불가능하고, 이 차이를 바탕으로 운동량을 기반으로 상황을 분석하고 해석하는 일이 가능하다.

앞에서 말한대로, 벡터와 스칼라로 작동한다는 사실 만으로도 두 개념이 함께 존재하는 충분한 의미가 있다.

 

이제 뉴턴의 두번째 운동법칙과 운동량 사이에 어떤 관계가 있는지 알아볼텐데, 시작은 아래 식 이다.

뉴턴의 운동법칙에서 질량은 변하지 않는 숫자이므로, 질량을 우변의 미분기호 안으로 넣는게 가능한데, 그렇게 하면,

짠.

이 식을 말로 쓴다면,

입자의 선형 운동량의 시간에 따른 변화는 입자에 작용한 합력의 크기와 같다. 가 된다.

 

우리는 5장에서 운동에 대한 이야기를 처음 시작할 때, 힘은 물체의 운동의 변화를 야기하는 것 으로 정의했고, 뉴턴의 두번째 운동법칙에서는 이 운동의 변화를 가속도로 표현 했었다. 이제 우리는 운동량의 시간에 대한 미분이 운동의 변화를 의미한다는 사실도 알게 된 것이다.

 

힘을 운동량의 시간에 대한 미분형태로 쓴 식이 실제로 뉴턴이 운동의 두번째 법칙을 발표 할 때 사용한 식 이고, 이 형태가 힘을 표현하는 가장 일반적인 형태이다.

 

위의 식을 이용하면 연료를 태우면서 날아가는 로켓의 운동같은, 속도 뿐만 아니라 질량이 변하는 현상에 대한 기술도 가능하다. 앞에서 다룬 F=ma 는 이런 상황에서 쓸모가 없어지는데, 자세한 얘기는 교재의 순서에 맞게 뒤에서 다루기로 하자.

 

 

[참고문헌]

주 교재 : Physics for Scientists and Engineers, 9th Edition, Serway/Jewett