[039-09-05] 역학 : 2차원 충돌 - Collisions in Two Dimensions

[039-09-05]

1차원 충돌에 이어 두 입자의 2차원 충돌에 대해서 알아보자. 

 

고립계에서 두 입자로 이루어진 계의 운동량이 보존됨을 알아봤는데, 이는 3차원 공간에서는 x, y, z 각 방향의 운동량이 보존된다는 것을 의미한다. 그런데 1차원 충돌에 대해서만 알아 본 우리가 갑자기 3차원에 대한 얘길 하는건 좀 어려울 수 있으니까 여기서는 2차원 평면에서 발생하는 충돌에 대해 알아보기로 하자.

굳이 예를 들기 보다는 지금 보고 있는 화면 위에서 아래 그림과 같이 두 입자의 충돌이 발생한다고 생각하자.

두 입자는 탄성충돌을 하고, 충돌 전에는 x 축 방향으로 1번 입자만 움직인다. 두 입자가 정면으로 충돌하지 않으니까 충돌 후 각자의 방향으로 움직일것으로 예상 할 수 있는데, 각각의 속도는 벡터 연산에 의해 x, y 방향의 속도 성분으로 나누어 쓰는게 가능하다.

 

이제 충돌 전 후 운동량이 보존된다는 사실 과 충돌이 2차원 평면에서 일어난다는 사실을 조합하면 다음의 식을 얻을 수 있다.

차원이 하나 늘었을뿐인데 식이 아주 복잡해졌다. 이래서 한번에 3차원에 대한 이야기로 넘어가는게 항상 어렵지..

 

속도에 대한 항에 아래첨자가 세 개나 붙는데, 숫자 1과 2는 충돌한 입자를 구분하기 위함이고, 두번째 i 와 f 는 처음속도와 나중속도를, 세번째 x 와 y 는 운동의 방향을 구분하기 위함이다.

 

위와 같은 상황을 glancing collision (비스듬한 충돌) 이라고 부른다고 교재에 있긴 한데, 뭐 굳이 알아둘필요는 없고,

그림으로 표현되는 상황을 기호로 잘 표현해서 위의 식을 바꿔볼건데, x, y 방향을 기준으로 알아보자.

x방향의 운동량의 변화 와 y방향의 운동량의 변화가 모두 0 이다. 에서 시작하자는 말.

그러면 위의 식은 다음으로 바뀐다.

 

충돌 전 운동량이 0인 항은 모두 사라졌고, 충돌 후 속도 성분들은 약속대로 x, y 각 방향 성분으로 나누어 썼다.

이제 두 입자가 비스듬히 부딪히는 2차원 충돌을 잘 설명 할 수 있는 식을 얻은것이다.

 

탄성충돌이라고 했으니까, 운동에너지가 보존된다는 사실에서, 다음의 관계도 얻을 수 있다.

 

비탄성충돌이면 운동에너지는 보존되지 않으니까 위의 관계를 사용 할 수 없다.

 

 

다음에는 질량중심에 대해서 알아보자.

 

 

[참고문헌]

주 교재 : Physics for Scientists and Engineers, 9th Edition, Serway/Jewett