[018] 파동함수 - The Wave Function

[018]

이제 양자역학이 어떻게 현상을 설명하는지에 대한 이야기를 시작해보자.

우리가 알고있는 역학에서 물체의 속도와 가속도는 물체의 시간에 따른 위치를 알면 구할 수 있었다. 위치의 함수를 한번 미분하면 물체의 속도를 얻고, 한번 더 미분하면 가속도를 얻는 방식으로.

또, 이렇게 얻어진 가속도를 뉴턴의 두번째 운동법칙에 넣으면 물체에 작용한 모든 외력의 합을 구할수도 있었다.

물체의 시간에 따른 위치는 물체의 운동과 관련된 정보를 "가지고있고", 물체의 위치를 적절한 방법으로 가공하면 우리가 필요로 하는 - 물체의 운동을 기술하는데 필요한 - 다른 정보를 얻을 수 있다는 말인데, 양자역학에서 시간에 따른 위치의 역할을 하는게 파동함수이다.

파동함수는 우리가 관심을 갖는 계(system)에 관한 정보를 가지고있고, 역시 적절한 방법을 통해 우리가 필요로 하는 정보를 파동함수로부터 얻을 수 있다.

 

 

[018-01] 확률

앞서 이야기 한 입자와 파동을 확률의 개념을 이용해서 연결시켜보자.

1. 우리가 임의의 공간 (관심이 있는 공간) 에서 어느순간 광자를 발견 할 확률은, 그 공간에 존재하는 광자의 갯수에 비례한다.

2. 1의 임의의 공간에 존재하는 광자의 갯수는 복사의 세기에 비례 할거다.

3. 전자기복사의 세기는 복사를 구성하는 전기장의 진폭의 제곱에 비례한다. (이 내용은 전자기복사에 나오는데, 일단 받아들이자.)

위의 과정을 정리하면, 임의의 공간에서 복사를 구성하는 광자를 발견 할 확률은 복사를 구성하는 전기장의 진폭의 제곱에 비례한다. 가 된다.

그리고, 전자기복사와 물질이 모두 파동-입자 이중성을 가지니까, 이 논의는 물질 입자에 대해서도 동일하게 적용 할 수 있을거다.

 

 

 

 

[018-02] 파동함수

임의의 공간에서 입자를 발견 할 확률이 입자를 표현하는 파동의 진폭의 제곱에 비례하고, 모든 입자는 드 브로이 물질파에 따라 파동의 형태로 표현 가능하다. 그런데, 입자를 표현하는 드 브로이 파동은 전자기 복사의 전기장과 달리 복소함수 (complex function : 허수부를 포함하는 함수) 여서 실제로 측정이 불가능하다.

물질의 파동만 정확히 측정 할 수 있으면 일이 좀 쉽겠는데, 속도나 가속도와 달리 이게 측정이 안된다는것. 이 답답한 상황을 해결하는게 파동함수와 수학이다.

우리는 입자를 표현하는 파동의 진폭 (amplitude) 을 알면, 우리가 관심있는 공간에서 입자를 발견 할 확률을 알 수 있으니까, 이 진폭을 확률진폭 (Probability amplitude) 또는 파동함수(wave function) 라는 이름을 붙이고, 그리스어 프시 (Psi) 를 기호로 해서 다루기로 한 것. 영어 발음은 프사이.

 

 

 

 

[018-03] 파동함수의 수학적 표현

계를 표현하는 완전한 파동함수는 일반적으로 계를 구성하는 모든 입자의 위치와 시간을 변수로 갖기 때문에 최대한 간략하게 써도 이게 뭐야? 싶은 기호들의 나열이 되고, 이게 복소함수이기 때문에 다루는 방법도 좀 달라진다.

그래도 시작 했으니 형태만 한번 보면,

 

 

왼쪽은 완전한 파동함수가 저 값들 - 사실 무한의 변수라고 봐도 되는 - 을 변수로 갖고, 오른쪽은 이걸 입자의 위치에 관한 함수와 시간의 함수의 곱으로 바꿔 쓴건데, 역시 어렵다. 아무튼 파동함수는 식으로 쓸 수 있고, 허수를 포함하는 복소함수이며, 위치와 시간의 변수를 따로 쓸 수 있구나. 정도로 알면 좋겠다.

그리고 우리는 특정 공간에서 입자를 발견 할 확률을 생각하고 있으니까, 우변의 소문자 프사이 - 계를 구성하는 입자의 위치 - 를 잘 알 수 있으면 좋겠다는 사실도 기억하면 좋겠다.

 

 

[018-04] 확률밀도

이제는 공간에 대한 - 입자의 위치에 대한 - 함수만 떼서 생각해보자. (소문자 프사이)

이 파동함수는 복소함수이기 때문에 복소수의 절댓값의 제곱을 이용하는데, 복소수의 절댓값의 제곱은 복소수와 켤레복소수의 곱으로 계산한다. 이렇게 하면 허수부가 사라지고 항상 양수인 실수만 얻을 수 있기 때문인데, 임의의 공간에서 입자를 발견 할 확률이 이렇게 얻어진 숫자에 비례하게 된다.

입자를 발견 할 확률이 진폭의 제곱에 비례한다는 논리와 아주 잘 맞는거 같이 보이면 좋겠다.

만약 하나의 입자에 대한 파동함수를 다룬다면 임의의 위치에서 입자를 찾을 부피 당 확률을 파동함수의 절댓값의 제곱으로 대체해서 사용 할 수 있을텐데, 그래서 이 값 - 절댓값의 제곱 - 을 확률밀도 (Probability density) 라고 부른다.

 

 

[018-05] 정리

1926년에 Erwin Schrodinger 는 시간과 공간을 변수로 갖는 파동 함수로 기술되는 파동 방정식을 제안하고, 1928년 Max Born 이 파동함수의 확률적 표현을 제시했다. 양자역학 이론의 중추를 이루는 슈뢰딩거 파동방정식의 개념은 이렇게 자리를 잡는다.

상대론 이야기를 할 때, 새로운 이론은 동일한 현상을 고전이론과 똑같이 설명 할 수 있어야 한다는 말을 했었는데, - 상대론은 물체의 속도가 빛의 속도에 비해 아주 느리면 고전이론과 같은 형태가 됐었다. - 양자역학도 이와 동일하다. 지금까지의 이야기는 모두 아주 작은 세계를 다루는 경우에 대한 것 이었지만, 양자역학의 개념을 큰 물체를 다루는 상황으로 확장하면 고전물리와 동일하게 현상을 기술하게 된다.

 

 

[참고문헌]

주 교재 : Physics for Scientists and Engineers, 9th Edition, Serway/Jewett