그림과 함께 시작.
이제 우리는 양전하 q 가 그 주변 공간에 전하 q 로부터 멀어지는 방향을 갖는 전기장을 형성한다는 것을 알고있다.
이번엔 원천전하 q 로부터 r 만큼 떨어진 위치의 전위가 어떻게 표현되는지 알아보자.
위 그림 A, B 두 지점의 전위차는
오른쪽의 적분을 직접 구해보기 위해 전하 q 에 의한 전기장을 대입하면,
여기서 우변의 두 벡터 r 과 ds 의 내적은 다음의 과정을 거쳐 dr 이 된다.
단위벡터 r 은 크기가 1 이니까 첫번째 등호가 성립하고,
ds cos 세타 는 벡터 ds 의 r 방향 성분과 같은 의미니까 두 벡터의 내적은 dr 이 된다.
말은 좀 어려울 수 있지만 위 그림을 보면 금방 이해 될거다.
이제 우리는 전위차를 구하기 위한 적분의 피적분 함수를 완전히 스칼라로 쓸 수 있게 됐다..
이 계산은,
.... 그래서 뭐?
라는 생각이 들 수 있는데,
여기서 중요한건 두 지점사이의 전위차, 즉 적분의 결과가 이동경로에 무관하다는 것 이다.
앞의 내용을 정리해보면,
우리는 원천전하 q 가 그 주변에 형성한 전기장 속 에서 임의의 경로를 따라 발생하는 두 지점 사이의 전위차를 계산했다.
경로가 반영됐다는 사실은 적분 속에 벡터 ds 가 들어있다는 것 으로 알 수 있다.
그런데 그 계산을 해보니, 시작지점과 도착지점의 위치에만 영향을 받더라는 사실을 알게 된 것.
그리고 우리는 이렇게,
경로에 무관한 힘 (force) 을 보존력 (conservative force) 이라 부르고,
보존력과 관련된 장 (field) 을 보존장 (conservative field) 이라 부른다.
점전하 q 에 의해 그 주변에 형성된 전기장은 보존장이다.
이것이 위의 전위차 계산에서 얻을 수 있는 값진 결과이다.
위 결과에서 얻을 수 있는 또 한가지 중요한 사실은,
점전하에 의해 형성된 전기장 속 두 지점의 전위차가 원천전하로부터의 거리 (rA, rB) 에만 의존한다는 것 인데,
이건 왜 중요하냐면,
원천전하로부터 아주아주 먼, 무한대로 먼 위치를 기준점 rA 로 설정하면, 그 위치의 포텐셜은 0 이고,
이 설정을 바탕으로 원천전하로부터 r 만큼 떨어진 위치의 전위는 다음으로 간단히 나타낼 수 있게 된다.
여러 개의 전하에 의한 전위는 중첩의 원리 (superposition principle) 에 따라 각 전하에 의해 형성되는 전위를 모두 합하면 된다.
게다가 전위는 스칼라여서 더욱 받아들이기 쉽다.
이제 여기까지 내용을 포텐셜 에너지 (electric potential energy) 와 연결시켜보자.
임의의 위치에 놓여진 원천전하 q1 은 그 주변공간에 전기장을 형성하고 또한 전위도 형성한다.
이제, 외부의 무언가가 q1 로 부터 무한히 먼 어딘가로부터 또 다른전하 q2 를 위치 P 까지 옮기는 상황을 상상해보자.
이전 글에서 다룬 것과 같이
[076-25-01] 전자기학 : 전위와 전위차 - Electric Potential and Potential Difference
이제 전위 (electric potential) 에 대한 이야기를 할 차례인데, 전기와 자기 얘기는 이해하기가 참 어려운 부분이라 앞서 글 처럼 손 그림 같은걸 좀 넣을 생각이다. 집사람한테 아이패드 프로를 선물
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q2 를 옮기는데 필요한 일의 크기는 다음과 같다.
앞서 우리는 무한히 먼 곳 과 임의의 위치 사이의 전위차가 어떻게 표현되는지 알아봤으니까,
위 식은,
이 결과는,
전하 q2 를 위치 P 까지 옮기기 위해 두 점전하 q1, q2 로 이루어진 계의 외부의 무언가가 (external agent) 한 일의 크기를 의미하고,
또 이것은
두 점전하 q1, q2 가 위 그림과 동일하게 구성된 계의 전기적 포텐셜 에너지 (electric potential energy) 를 의미한다.
마지막으로,
아래 그림과 같이 세 개의 전하로 이루어진 계의 포텐셜 에너지는 다음과 같은데,
이는 물리적으로 이렇게 이해 할 수 있다.
첫 번째 전하 q1 이 혼자 있는 공간의 아주 멀리서부터 두 번째 전하 q2 를 r12 위치까지 옮기는데 필요한 일의 크기
여기에
이 두 전하로부터 또 아주 멀리서부터 세 번째 전하 q3 을 각 전하와 r13, r23 의 거리를 두는 위치까지 가져오는데 필요한 일의 크기
의 합.
이번 내용은 여기까지.
[참고문헌]
주 교재 : Physics for Scientists and Engineers, 9th Edition, Serway/Jewett