[072-24-02] 전자기학 : 가우스 법칙 - Gauss's Law

이제 가우스 법칙.

가우시안 면 (Gaussian surface) 이라 부르는 폐곡면을 통과하는 전체 전기 선속 (net electric flux) 과

그 표면이 감싸고 있는 내부 공간에 들어있는 전하 사이의 관계 를 설명하는 가장 기본적이면서 중요한 법칙이 가우스 법칙 이다.

 

 

그림을 먼저 보자.

 

우리는 중심의 전하에 의해 r 만큼 떨어진 구의 모든 표면에 형성되는 전기장이 아래의 형태인걸 이미 알고 있다.

 

 

여기에,

표면의 모든 위치에서 전기장 벡터와 미소면적을 의미하는 벡터가 평행하다는 사실과 전기 선속에 대한 면적분 형태의 식을 보태면 아래의 관계를 얻을 수 있다.

 

 

전기장의 크기 E 가 적분 밖으로 나오는건 가우시안 표면의 모든 위치에서 그 크기가 같기 때문이라는 것 정도는 모두 알겠지?

 

이제 뒤에 남은 적분은 어릴 때 배운 “구의 표면적” 을 구하는 식으로 바뀐다.

반지름 r 인 구의 형태로 가우시안 면을 잡았으니까 구의 표면적이 되는 것.

 

 

그러면 우리가 설정한 가우시안 면을 통과하는 전체 선속 (net flux) 은 다음의 형태가 된다.

 

마지막으로, 위 관계에 앞서 다뤘던 관계를 하나 보태면,

https://physicslog.tistory.com/entry/063-23-03-%EC%A0%84%EC%9E%90%EA%B8%B0%ED%95%99-%EC%BF%A8%EB%A1%B1%EC%9D%98-%EB%B2%95%EC%B9%99-Coulomb%E2%80%99s-Law

[063-23-03] 전자기학 : 쿨롱의 법칙 - Coulomb’s Law

 

 

 

전체 전기 선속 과 가우시안 표면 안에 들어있는 전하 사이에는 다음의 관계가 있다.

 

이 관계는 다른 말로,

전체 전기 선속은 표면이 감싸고 있는 전하량에 비례 할 뿐 전하로부터의 거리와는 무관하다는 얘기 이고,

 

덧붙여,

전기장은 분명 전하로부터 거리의 제곱에 반비례 했는데 선속은 그렇지가 않다는, 따라서 전기장과 전기선속이 분명 다른 개념이라는 생각도 해 볼 수 있고,

어쨌든 선속 (flux) 이라는 개념을 이용하면 “거리의 제곱에 반비례” 라는 아주 어려운 개념에서 벗어나, 내가 설정한 가우시안 면 안에 들어있는 전하량만 고려 하면 되는구나.

라는 생각도 할 수 있다.

 

 

물론 가우시안 면은 꼭 구의 형태일 필요는 없고, 어디까지나 상황에 맞게 설정 할 수 있다.

아래 그림처럼.

 

이를 교재에서는 다음으로 설명하고 있다.

The net flux through any closed surface surrounding a point charge q is given by q/ε。and is independent of the shape of that surface.

 

 

마지막으로 가우스 법칙의 가장 일반적인 형태는 다음이고,

 

이는,

“내가 설정한” 가우시안 표면의 임의의 위치에서 전기장 (E) 과 가우시안 표면 내부에 들어있는 전하량 (q in) 의 관계를 의미한다.

 

 

 

이 외에도 교재에서는 가우시안 표면 밖에 존재하는 전하에 의한 효과와 여러 전하에 의한 중첩효과 등에 대해서도 다루고 있으니 공부하는 사람들 이라면 꼭 보고 지나가길 바라고..

 

 

 

어쨌든 우리는 지금 전기장에 대한 이야기를 하는 중 이고, 가우스 법칙 역시 전기장을 기술하는 형태로 바꿔 쓸 수 있기 때문에

다음에는 예제를 보면서 가우스 법칙이 어떻게 활용 될 수 있는지 알아보자.

 

 

 

[참고문헌]
주 교재 : Physics for Scientists and Engineers, 9th Edition, Serway/Jewett