[024] 터널링 - Tunneling Through a Potential Energy Barrier

[024]

무한포텐셜 우물 문제에서 우물 내부에 존재 가능한 에너지 상태가 양자화 됨을 확인했고, 유한포텐셜 우물 문제에서는 포텐셜의 크기가 무한대가 아니면 우물의 외부에서 입자가 발견 될 가능성이 존재함을 확인했다.

이제 유한한 높이와 폭을 갖는 포텐셜 "장벽(Barrier)" 이 존재하는 경우에 대해서 알아보자.

 

 

[024-01] 먼저 생각해보자.

앞의 이야기들을 바탕으로 생각해보면, 포텐셜의 높이가 유한하니까 아마 장벽의 경계에서 파동함수가 0 이 아니어도 될테고, 파동함수가 0 이 아닌 상태로 존재 할 수 있을만큼 장벽의 폭이 좁으면, 어쩌면 입자가 장벽을 "통과" 할 수 있을지도 모르겠다.

그리고 이 상황을 그림으로 나타내면 다음과 같다.

위와 같은 형태의 포텐셜 에너지를 Square Barrier (사각장벽) 라 부르고, 우리는 장벽의 왼쪽에서 장벽을 향해 달려오는 입자를 생각해볼거다.

 

 

[024-02] 고전적 관점

고전적 관점은 언제나 우리가 기존에 알고있는 내용을 바탕으로 생각하면 되는데, 장벽의 높이보다 낮은 에너지를 갖는 입자가 장벽을 만나면 당연히 입자는 장벽을 "넘지" 못하고 반대 방향으로 반사 하게 된다.

따라서, 장벽 내부 (영역 II) 와 장벽 건너편 (영역 III) 에서 입자의 발견 가능성은 의심의 여지 없이 0 이다.

 

 

[024-03] 양자역학에서는?

앞에서 잠깐 생각해본대로 양자역학에서는 세 영역 모두에서 입자가 발견될 확률이 0 이 아니다. 물론 아주 작은 숫자 이긴 하지만..

불확정성원리에 따라 입자가 장벽 안에 존재하는 시간이 아주 짧아지고, 다음의 관계를 만족할수만 있으면, 입자는 장벽 "안에" 존재 할 수 있다.

그럼, 어떻게하면 입자가 장벽 안에 존재 하는 시간을 저렇게 짧게 만들 수 있을까?

답은 아주 단순하다. 장벽의 폭을 아주 좁게 만들면 된다.

 

 

[024-04] 수학적인 표현을 이용해보자.

쉽진 않겠지만, 위 그림과 같은 상황이 가능하도록 무언가를 만들면, 슈뢰딩거 방정식은 세 영역에 적절한 답을 갖는다. 적절한 파동함수를 가질거라는 말이다.

그런데, 앞에서 다룬대로 I, III 영역에서 파동함수는 사인파 형태를 가질테고, II 영역에서는 유한우물 문제의 우물 외부와 같이 지수함수적으로 감소하는 형태의 해를 갖게 될거다.

장벽의 좌우 경계에서 각 영역의 파동함수와 1계 도함수가 연속이야 한다는 경계조건을 적용하면 결국 얻어지는 파동함수는 위의 그림과 같은 형태가 된다.

고전적 접근으로는 도저히 발생 할 수 없는, 입자가 포텐셜 장벽을 통과하는 현상을 Tunneling 또는 Barrier Penetration 이라고 한다.

이제 모든 영역에서 파동함수는 0 이 아니고, 입자의 발견과 관련있는 확률밀도 (=파동함수의 절댓값의 제곱) 또한 0 이 아니므로 장벽의 내부와 심지어 장벽의 건너편에서도 입자를 발견 할 가능성이 생기게 됐다.

 

 

[024-05] 관련된 내용을 몇가지 더 알아보자.

터널링 확률은 투과계수 (Transmission coefficient : T) 와 반사계수 (Reflection coefficient : R) 로 쓸 수 있으며, 투과계수는 입자가 장벽을 투과해 장벽의 반대편에 존재 할 가능성을, 반사계수는 입자가 장벽에의해 반사 될 가능성을 의미한다.

그리고, 입자는 장벽을 만나면 투과 되거나 반사 될테니, T 와 R 의 합은 1 이다.

 

투과계수의 근사 표현은 다음과 같은데,

이 표현은 장벽의 폭이 아주 넓거나 (L>>0), 높이가 아주 높은 (U>>0) 즉, 입자의 투과 가능성이 아주 낮은 경우까지 모두 설명이 가능한, 어느상황에서나 쓸 수 있는 식 이다.

 

 

[024-06-01] 예제를 한번 알아보자.

Q) 30 eV 의 에너지를 가진 전자가 폭 1 nm, 높이 40 eV 의 사각 장벽을 투과 할 가능성은?

A) 위의 투과계수 식을 이용하고, 지수의 2CL 을 먼저 구해보면,

따라서, 투과계수는

... 참 말도 안되게 낮은 확률인걸 알 수 있다.

 

 

[024-06-02] 위 문제에서 장벽의 폭을 1/10 로 줄여서 0.1nm 로 만든다면 어떻게 될까?

A) 마찬가지로 2CL 과 투과계수를 구해보면,

불확정성 원리를 바탕으로 얘기한대로 장벽의 폭을 1/10 로 줄이면 터널링 확률을 10^12 배 로 높일 수 있음을 알 수 있다.

 

 

[024-07] 정리

양자역학에서는 포텐셜 장벽보다 낮은 에너지를 갖는 입자가 장벽을 투과해 장벽의 건너편에서 발견 될 확률이 존재하고, 이 현상을 터널링 이라고 한다.

터널링 확률은 장벽의 폭을 좁게 만들어 높일 수 있으며, 나노 수준의 스케일에서 장벽의 폭이 10% 가 되면 터널링 확률은 상상을 초월 할 정도로 커진다.

 

 

[참고문헌]

주 교재 : Physics for Scientists and Engineers, 9th Edition, Serway/Jewett