[023] 유한 포텐셜 우물 - A Particle in a Well of Finite Height

[023] 

무한포텐셜 우물에 갇힌 경우를 알아봤으니까, 이제 포텐셜의 크기가 제한되어 있는 경우를 알아보자.

이 문제도 무한포텐셜 우물과 같이 구속조건이 주어진 상황의 슈뢰딩거 방정식을 풀어 적절한 파동함수를 얻는게 목표이다.

 

 

[023-01] 유한 포텐셜 우물

고려하고 있는 상황은 위 그림과 같다. 계의 전체 에너지 E 가 포텐셜 U 보다 작은 경우이고, 고전적 개념에 따르면 입자는 이 상황에서 우물의 외부에서 발견 될 수 없다.

그런데.. 양자역학의 해석에 따르면 이 상황에서 입자가 우물의 외부에서 발견 될 확률이 어느정도 존재한다. 즉, 우물의 외부에서 파동함수가 0 이 아닌 값을 갖고, 따라서 확률밀도 - 파동함수의 절댓값의 제곱 - 또한 0 이 아닌 값을 갖는다는 말이다.

낮은 에너지를 가진 입자가 높은 장벽의 바깥에서 발견 될 수 있다.. 좀 이상하고 불편한 말이긴 한데, 불확정성원리는 계의 에너지가 어느정도의 불확정성을 갖는다는 의미를 갖고, 에너지의 불확정성은 에너지보존에 위배되지 않는 한 입자가 우물의 바깥에 존재 할 수 있음을 나타낸다.

... 그건 그렇고 일단 한번 풀어보자.

 

 

[023-02] 우물 외부의 파동함수

위 그림의 두번째 영역 - 우물 안 - 은 폭이 L 이고, 포텐셜이 0 인 구간이므로 내부의 조건을 만족하는 슈뢰딩거 방정식의 해는 무한포텐셜에서와 동일한 형태임을 알 수 있다.

그런데, 이제는 포텐셜이 0 이 아니기 때문에 경계조건이 달라지게 된다.

경계조건을 적용하려면 우물 외부 - 1,3 영역 - 의 파동함수를 알아야 하니까 일단 슈뢰딩거 방정식을 풀어보자.

 

우물 외부에서는 포텐셜이 전체 에너지보다 크니까 U-E 는 항상 0 보다 크고, 이를 이용해서 위 식을 약간 간단하게 바꿔쓰면,

복잡한 과정을 한게 아니고, 프사이 앞에 계수가 복잡하게 생겼으니까 그냥 어떤 숫자 (C) 의 제곱으로 바꿔 쓴거다.

이제 우물의 양쪽 바깥 구간에서 파동함수는 위의 빨간색 미분방정식을 만족해야 하는데, 두 번 미분해서 어떤 숫자의 제곱을 계수로 갖고 자기 자신이 나오는 함수이므로, 우물 외부 파동함수의 기본 형태는 다음과 같다.

우물 외부에서 의미있는 적절한 파동함수는 위치 x 의 양 극값에서 유한한 값을 가져야 하므로 즉, 무한대가 되지 않아야 하므로, 음의 x 를 갖는 우물의 왼쪽 영역에서 B 를 갖는 항을 포함하지 않아야 하고, 양의 x 를 갖는 우물의 오른쪽 영역에서는 A 를 갖는 항을 포함하지 않아야 한다.

위 결과는 지수함수가 다음과 같은 형태를 갖기 때문이다.

이제 우물 외부의 파동함수를 구분해서 다음으로 쓸 수 있다.

 

 

[023-03] 결과와 경계조건

무한대 우물에서 구한 우물 내부의 파동함수를 그림과 함께 적용해보면,

우물 외부의 파동함수는 경계에서 거리가 멀어짐에 따라 지수함수적으로 - exponentially - 감소하는 형태를 갖게 되고, 이는 우물 외부에서 입자가 존재 할 수 없다는 고전물리의 해석과 달리, 우물 외부에서 확률밀도가 0 이 아님을 즉, 우물 외부에서 입자를 발견 할 가능성이 있음을 의미한다.

각 영역의 파동함수를 규격화 (Normalize) 하고, 우물의 양 경계에서 파동함수와 그 1계 도함수가 연속이어야 함을 이용하면 아직 정해지지 않은 계수 - A, B, F, G - 를 구할 수 있다.

참고로 초기의 세가지 상태 - n=1,2,3 - 의 확률 밀도는 다음과 같으며, 계산해보지 않아도 위치의 기댓값 <x> 은 역시 우물의 가운데가 될 것이라 예상 할 수 있다.

이 개념은 나노기술이라 일컬어지는 미시세계를 다루는 전자산업이 발전하면서 직접적으로 아주 활발하게 응용되고있다. 특히, USB, SSD 와 같은 저장장치들이 이런 원리로 만들어지는데, 이건 다음에 알아보자.

 

 

[023-04] 정리

유한한 포텐셜을 갖는 우물에 갖힌 입자를 기술하는 파동함수를 구해봤다.

포텐셜이 유한하면 우물의 바깥에서 입자를 발견 할 확률이 존재하며, 이는 고전적인 해석과 너무나 큰 차이가 있다.

 

 

[참고문헌]

주 교재 : Physics for Scientists and Engineers, 9th Edition, Serway/Jewett