[025-02] 단순 조화 진동 풀이

[025-01] 

앞에서 다룬 단순 조화 진동을 풀어보자.

물리에서 "푼다" 라는 말은 중고등학교 다닐 때 수학문제를 풀어 답을 내는 과정과는 좀 다른 의미로 쓰일 때 가 있는데, 그게 지금이다.

우리가 궁금한 계의 운동이나 상태를 어떻게 기술 할 수 있는지 알아 내는 일을 푼다 라고 하고, 대부분의 경우에 계의 에너지가 어떤 형태가 되는지, 어떤 변수와 관련있는지를 알아내는 과정을 뜻한다.

물론 종종 다뤘던 예제들처럼 특정 조건에서 우리가 궁금한 답을 내는 과정도 풀이 이다.

 

 

[025-01-01] 고전역학 풀이

 

 

평형점 (x=0) 에서 오른쪽이든 왼쪽이든 변위가 발생하면 스프링의 복원력에 의해 변형의 반대 방향으로 힘이 작용하고, 이 힘이 물체를 움직이게 되며, 스프링의 복원력 외에 다른 힘이 전혀 작용하지 않으면 물체는 일정한 진폭을 일정한 주기로 왕복운동 하게 된다.

이 사실을 고전적인 접근의 수학으로 풀어 물체가 갖는 에너지가 어떤 형태로 기술되는지 알아보자.

모든 물체의 운동을 고전적으로 기술하는 뉴턴의 운동법칙과 훅의 법칙으로 알려진, 물체에 작용하는 단 하나의 힘 - 스프링의 복원력 - 에서 출발하자.

 

 

두 번 미분해서 마이너스와 오메가 제곱을 계수로 갖는 함수는 sin, cos 이므로, 위 미분 방정식을 만족하는 변위 x 의 함수는 sin, cos 의 선형 결합으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

 

초기상태 t=0 에서 물체의 위치가 평형점 x=0 이라면, cos 의 계수 B=0 이어야 하고, 함수는 sin 만 남는다.

 

 

아직 정해지지 않은 계수 A 를 이 운동의 진폭 이라고 한다.

이제 계의 전체 에너지를 구해보자.

전체 에너지 E 는 물체의 운동에너지 T 와 포텐셜 에너지 U 의 합으로 쓸 수 있으므로, 다음의 과정으로 계산된다.

 

 

고전적인 해석으로 물체의 에너지는 물체의 진폭의 제곱에 비례한다는 결과를 얻을 수 있다. 즉, 어떤식으로든 스프링의 변위를 크게 만들면 큰 에너지를 갖게 되고, 진동 운동을 하는 동안 (A>x) 에는 감소한 에너지만큼이 물체의 운동에너지 형태로 변환된다.

 

 

[025-01-02] 양자역학 풀이

이전 이야기에서 단순 조화 진동의 슈뢰딩거 방정식을 만족하는 파동함수가 아래의 형태임을 받아들이고 내용을 진행 했는데, 어떻게 그런 형태가 되는지 알아보자.

 

 

 

계의 포텐셜을 포함하는 슈뢰딩거 방정식에서 시작하자.

 

 

누가봐도 식이 복잡하게 생겼으니까 치환해서 좀 간단한 모양으로 만들어보자.

 

 

D 와 C 를 선택한건 이유없고, 4와 C의 제곱을 쓴건 앞의 이야기와 기호를 맞추기 위함이다.

이를 이용해 식을 다시 쓰면,

 

 

모든 공간에서 파동함수는 발산하지 않아야 하고, x가 무한대의 극한값을 가질 때, 괄호안의 값 중 D 는 x 제곱항에 비해 아주 작으므로, 위 식은 다음의 형태가 된다.

 

 

두 번 미분해서 위의 계수를 갖고 자기자신이 나오는 함수는 지수함수이다.

 

 

그런데, C 의 계수가 양수이면 x 의 양의 극한에서 파동함수가 무한대로 발산하므로, 의미를 갖는 해는 음의 계수를 갖는 경우로 제한된다. 따라서, 우리는 앞의 이야기에서 도입한 것과 동일한 형태의 파동함수를 얻을 수 있다.