[043-10-03] 역학 : 회전, 병진 운동의 관계 - Angular and Translational Quantities

 

교재의 영문 제목은 저렇게 되어 있는데, 한글로 옮기기에 적절한 단어들이 생각나지 않아서 대충옮겼다.

 

 

토크에 대한 이야기로 넘어가기 전에 간단하게 각속도, 각가속도가 병진운동의 속도, 가속도와 어떤 관계가 있는지 알아보자.

 

 

위 그림의 점 P 가 원운동을 할 테니까, 점 P 의 병진운동 속도벡터 (v) 는 항상 원형 경로의 수직 방향을 갖게 되므로, 우리는 P 의 병진운동 속도벡터를 접선속도 (tangential velocity) 라 부른다.

 

 

사실, 접선속도 라는 말 보다는 역시 tangential velocity 라는 영어 단어가 좀 더 익숙하고, 보통 회전운동의 선속도는 접선이다. 정도만 잘 이해해도 준수하다.

너무 당연한 얘기지만, 회전운동의 경우 물체를 구성하는 모든 입자가 회전 축을 중심으로 다 같이 회전한다는 사실을 받아들이는게 경우에 따라 더 어렵기도 하다.

 

 

지금부터 나오는 각에 대한 표현은 모두 호도법 기준임을 잘 기억하고,

 

P 의 접선속도의 크기는 원형 경로를 따라 P 가 움직인 거리의 시간에 대한 미분이고, 호도법에서 호의 길이를 구하는 식을 적용하면 다음을 얻는다.

 

 

r 이 미분기호 밖으로 나온건, P 의 회전운동의 반지름의 크기는 일정하니까 상수여서 그렇다.

 

앞에서 각위치에 대한 시간 미분을 각속도로 정의 했으니까 P 의 접선속도는 다음으로 쓸 수 있다.

 

 

우리는 이 관계를 4장의 원운동의 기술에서도 본 적이 있었는데, 그때는 아래의 과정을 통해 얻을 수 있었다.

 

 

이게 생각이 안나는건 정상이니까, 지금 다시 보고 알면 된다. 4장으로 가서 대충 무슨 얘기가 있었는지 보고 와도 좋다.

 

이 식을 말로 쓰면, 회전하는 물체 위 한 점의 접선속도는 회전 축에서 해당 점 까지의 직선 거리에 각속도를 곱한것과 같다. 이다.

따라서, 물체의 모든 입자는 같은 각속도로 회전하지만, 회전 축 으로부터의 거리가 다르므로, 접선속도는 동일하지 않다.

 

 

이는, 회전 축 으로부터 거리가 먼 입자 일수록 접선속도가 커진다는 말도 된다.

따라서, 야구선수나 골프선수가 채를 휘두르면, 채의 끝부분의 접선속도가 가장 크다.

 

 

이번엔 각가속도와 접선가속도의 관계를 알아보자. 식부터!

 

 

 

각속도와 같은 과정을 거치면 위의 관계를 얻을 수 있다.

각속도와 달리 위 식에는 아래첨자 t 가 있다. 이건 접선방향 가속도를 의미한다,

 

그런데 우리는 4장에서 방향만 바뀌는 운동도 다뤘었고, 그 때 구심가속도 (centripetal acceleration) 라는 단어를 본 적이 있었다.

이제 같은 회전운동이고, 같은 가속도 라는 단어를 쓴다면 지금 다루는 내용과 어떤 관계가 있지 않나 싶을텐데, 구심가속도와 각속도 사이에는 다음의 관계가 있다.

 

 

회전운동이 갖는 가속도 성분이 위와같이 두 가지여서, 전체 가속도 벡터는 다음으로 쓴다.

 

 

ar 은 radial acceleration 이고, 그 크기는 구심가속도와 같다.

 

 

여기까지 쭉 읽으면, ‘그래서 뭐 어쩌라고?’ 라는 생각이 들 수 있는데, 아래 그림을 보면 느낌이 딱 온다.

 

 

회전운동의 가속도는 접선방향과 회전 중심을 향하는 방향 두 성분으로 구성되고, 접선방향은 이번 글에서, 회전 중심을 향하는 방향은 4장의 원운동에서 자세히 다뤘다.

 

그리고, 전체 가속도 벡터는 서로 직교하는 두 성분으로 구성되어 있으므로, 그 크기는 아래의 벡터 연산을 이용해 얻어진다.

 

 

 

다음은 진짜로 토크에 대한 이야기를 해보자.

 

 

 

[참고문헌]

주 교재 : Physics for Scientists and Engineers, 9th Edition, Serway/Jewett